Hoe bepaal je de hoek tussen twee driehoeksvlakken bij een veelhoekspiramide?

Luc, 58 jaar
6 maart 2009

Bij een veelhoekige piramide - hetzij bij 2 hellende vlakken - wil ik de hoek berekenen van het RAAK vlak .
Bijv. : een gelijkbenige 4-hoekspiramide
- de 4 binnenhoeken = elk 90°
- maar . . . de hoek tussen 2 (3-hoeks-)raakvlakken is AFHANKELIJK van de nokhoogte
- HOE bereken je die RAAKVLAKHOEK?
Sowieso bedankt voor het lezen.

Antwoord

ik bespreek eerst de theorie, en dan de concrete oplossing voor een regelmatige pyramide met vier zijvlakken.

De hoek tussen twee vlakken bepalen kan je makkelijk doen door de hoek tussen hun twee normaalvectoren te berekenen. Immers, als twee vlakken een onderlinge hoek maken van bijvoorbeeld 10°, en je plaatst op elk vlak een vector loodrecht erop (dus een normaalvector), dan zullen die twee normaalvectoren ook een onderlinge hoek van 10° maken.

Dus is het probleem : hoe vind je een normaalvector ?
Heel eenvoudig, als je drie willekeurige punten P1, P2 en P3 in een vlak hebt, die niet op een rechte liggen, dan is een normaalvector te vinden als

N  = (P3-P1) x (P2-P1)

hierbij is het symbool "x" het vectorieel product.
Zo bepaal je dus een normaalvector op elk van de twee snijdende vlakken.
In uw geval kies je dus gewoon als drie punten van een zijvlak de twee eindpunten van de ribbe onderaan en het toppunt.

De hoek q tussen die twee normaalvectoren (en dus de hoek tussen de twee vlakke) is dan :

cos θ = < N1 , N2 >  /  ( || N1|| . ||N2 || )

in de teller staat het scalair product < N1 , N2 >  van de twee vectoren, en in de noemer het product van de twee normen, || N1|| en ||N2 ||
De norm van een vector is zelf te vinden als de wortel van het scalair product met zichzelf :
dus  ||N1|| = wortel ( <N1,N1>)  en    ||N2|| = wortel ( <N2,N2>)

formules :  stel dat je twee vectoren U = (Ux, Uy, Uz) en V = (Vx, Vy, Vz )

dan is het vectorieel product :  U x V  = ( Uy.Vz - Uz.Vy , Uz.Vx - Ux.Vz , Ux.Vy - Uy.Vx )
dan is het scalair product : < U , V > = Ux.Vx + Uy.Vy + Uz.Vz

je ziet dat het vectorieel product weer een vector is, maar het scalair product een getal.

Om de punten in uw pyramide coordinaten te geven moet je dus eerst een assenstelsel kiezen.
Neem het middelpunt in het midden van het grondvlak, en de z-as vanuit het grondvlak dus recht naar omhoog door de top.
De x-as kies je door een hoek van het grondvlak.

Voorbeeld voor een pyramide met 4 zijvlakken :

dan kies je als hoekpunten gewoon : H1 = (d,0,0) , H2 = (0,d,0) , H3 = (-d,0,0) en H4 = (0,0,-d)
waarbij  d  de afstand is van het midden van het grondvlak tot een hoekpunt (dus NIET de zijde onderaan!)
De top ligt dan op T = (0,0,h)
waarbij de  h  de hoogte van de pyramide is.

Neem eerst het zijvlak bepaald door H1, H2 en T
N1 = ( T - H1 ) x ( T - H2 ) = ( -d , 0 , h ) x ( 0 , -d , h ) = ( dh , dh , d2)
en neem als tweede zijvlak, het vlak bepaald door H2,H3 en T
N2 = ( T - H2 ) x ( T - H3 ) = ( 0 , -d , h ) x ( d , 0 , h ) = ( -dh , dh , d2 )

dan :  <N1,N2>  =  ... = d4
         ||N1||  = ... = wortel [d2 (d2 + 2h2 ) ]
         || N2|| = ... = wortel [d2 (d2 + 2h2 ) ]

zodat : cos hoek = ... d2 / ( d2 + 2h2 )

vb : stel lengte van basis is 2 meter, zodat d = 1.414 meter, hoogte = 4 meter :

dan : cos q = 0.05882

dus hoek q = arccos(0.05882) = 1.5119 radialen = 86°.63

met h = 2 meter zou dit 78°.46 geven, en met h = 1 meter exact 60°

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen