Kansrekening: wanneer zal de volgende komeet de aarde raken?

Frederik, 17 jaar
28 december 2008

Ik ben niet echt geïnteresseerd in de precieze (astronomische) cijfers, eerder in de wiskundige benadering.
Stel dat er om de 100 jaar een "middelgrote" komeet de aarde raakt. De definitie van middelgroot is niet echt van belang, wel het feit dat er gemiddeld om de 100 jaar één de aarde raakt.
De laatste heeft de aarde geraakt in 1908. Het is nu nog net 2008.
Wanneer zal de volgende, gemiddeld gezien, de aarde raken? Ik denk 2108 maar bijna niemand gelooft mij. (En wat is de definitie van gemiddeld gezien? Ik zou zeggen dat dit betekent dat er 50% kans is dat het ervoor gebeurt, 50% kans dat het erna gebeurt, of is er een betere definitie?)

Antwoord

   
    Dit soort fenomeen wordt in de kansrekening beschreven door een Poissonverdeling : de statistische veranderlijke geeft het aantal (dus een geheel getal) gebeurtenissen per vastgekozen tijdseenheid. Je kent enkel het gemiddeld aantal keer dat dit gebeurtenis optreedt gedurende die vaste tijdseenheid (dat gemiddelde zelf is niet noodzakelijk geheel getal) en de gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar. Een Poissonverdeling wordt gekenmerkt door 1 parameter Lambda. Deze geeft het gemiddelde aantal gebeurtenissen per tijdseenheid (in ons geval dus 1 per eeuw). De gemiddelde wachttijd tussen twee opeenvolgende gebeurtenissen van een Poissonverdeling is 1/Lambda, dus bij ons ook 1. Deze "1" is dus één tijdseenheid, met andere woorden één eeuw.
   Heel belangrijk : de kans dat de gebeurtenis optreedt in eenbepaald tijdinterval is totaal onafhankelijk van wat er buiten dat interval gebeur  .Enkel het gemiddeld aantal per tijdseenheid is van belang.  Of er nu vorige eeuw geen enkele of 1000 kometen de aarde geraakt hebben heeft geen enkel effect op de aantal dat we nu kunnen verwachten. Kometen komen immers onafhankelijk van elkaar aangevlogen. Er is nooit een komeet die denkt "nu is het al lang geleden dat er een komeet is ingeslagen, ik ga er nu eens werk van maken zie !"   Er is ook geen komeet die zegt "Oei, er zijn deze eeuw nu al zo veel inslagen geweest, ik zal zelf nog even wachten."
 
De formule die uw vraag beantwoordt is de volgende :

P ( N(t) = 0 )  =  exp ( - Lambda.t)            met Lambda = 1  en t uitgedrukt in eeuwen

Deze formule zegt het volgende : N(t) is het aantal inslagen na een tijd  t, die nu op dit moment begint te lopen. De kans in het linkerlid geeft dus de kans dat, na een tijdspanne  t , er nog geen enkele komeet ingeslagen is. Je ziet in het rechterlid dat die kans  exponentiëel afneemt : hoe langer je wacht, (dus hoe groter t), hoe minder kans dat er nog geen komeet ingeslagen is.
   Je kan dan bijvoorbeeld kijken hoelang je moet wachten tot wanneer de kans dat er nog geen ingeslagen is gezakt is tot 50 procent. Daarvoor moet je dus oplossen :

exp ( -1 t ) = 0.5

zodat je uitkomt : t = 0.693 eeuw = 69.3 jaar.
   De kans dat je langer een eeuwr moet wachten vanaf gelijk een start-tijdstip is dan weer :  

exp( -1 * 1)  =  0.368

Nogmaals, dit is los van de voorgeschiedenis.
   Je ziet, statistiek is een zeer subtiele wetenschap wat betreft het omschrijven wat je aan het doen bent. Daarom is een uitdrukking als "gemiddeld gezien" zoals je terecht opmerkt veel te vaag.
    Misschien toch nog het volgende opmerken : je zou mischien kunnen zeggen, op basis van die 50 procent tijdspanne van 69.3 jaar, dat de gemiddelde wachttijd tussen twee inslagen dus 69.3 jaar moet zijn. Dat is niet correct. Je hebt 50 procent kans dat je minder dan 69.3 jaar moet wachten, en 50 procent dat het langer duurt. Maar als het langer duurt wil dat niet zeggen dat die tweede 50 procent dan tussen 69.3 en 2 * 69.3 jaar zitten. Neen die zitten tussen 69.3 en oneindig, en daardoor wordt de gemiddelde wachttijd tussen twee inslagen groter dan 69.3. Zoals gezegd is die voor een Poissonverdeling 1/Lambda, dus 1 eeuw = 100 jaar.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen