Wat is het logische verband tussen het voorkomen van pi bij de berekening van zowel omtrek als oppervlakte van een cirkel?

Dominiek, 48 jaar
3 december 2008

Het kan niet toevallig zijn dat men bij hetzelfde getal (pi) is uitgekomen bij de berekening van de omtrek en de oppervlakte van een cirkel. Maar de omtrek is een lengtemaat en de oppervlakte een kwadratische maat. Hoe kan je bewijzen dat voor beide hetzelfde getal pi nodig is?

Antwoord

Beste Dominiek,


Laten we er even van uitgaan dat de omtrek van de cirkel 2*pi*R is, en we willen de oppervlakte van de cirkel bepalen. Via de volgende redenering merk je hoe uit de oppervlakte van de cirkel kan bepaald worden uit de omtrek.

Laten we eerst de oppervlakte van de cirkel benaderen door de oppervlakte van een regelmatige n-hoek die ingeschreven is in de cirkel. Dit gaat als volgt:

We splitsen de regelmatige n-hoek op in n driehoeken met tophoek in het middelpunt van de cirkel (in de figuur n=7).

http://www.ikhebeenvraag.be/mediastorage/FSImage/A0/1017/cirkel-3.png

De oppervlakte van de regelmatige n-hoek wordt dan gegeven door

http://www.ikhebeenvraag.be/mediastorage/FSImage/A0/1015/cirkel-1.png

indien we hn de hoogte van zo een driehoek noemen en zn de breedte van zulk een driehoek noemen. Indien we de n nu steeds groter laten worden (en wiskundig gezien de limiet naar oneindig nemen), dan zal de oppervlakte naderen naar

http://www.ikhebeenvraag.be/mediastorage/FSImage/A0/1016/cirkel-2.png

aangezien de omtrek van de n-hoek nadert naar de omtrek van de cirkel, en gelijktijdig de hoogte hn van de driehoek nadert naar de straal R van de cirkel.

Zo kan je het verband bekijken.

De hiergebruikte methode komt eigenlijk overeen met het bepalen van de oppervlakte door middel van een integraal berekend in poolcoördinaten, maar misschien daarover meer in een andere vraag.

Met vriendelijke groeten,

Stijn Symens

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen