Betaat er meetkundige constructie om een ellips te bepalen die raakt aan een willekeurige kromme?

Theofiel, 65 jaar
7 november 2008

Gegeven zijn de 2 brandpunten van de ellips, en de kromme. Of moet men het zoeken buiten de meetkunde?
Er bestaan constructies in verband met raaklijnen, raakpunten,... van vlakke kegelsneden, maar gewoonlijk in verband met andere rechten, cirkels, ellipsen, parabolen, hyperbolen, of hogere graadsfuncties.
Maar rakend aan een willekeurige kromme, die analytisch niet te beschrijven valt?

Antwoord

Beste Theofiel,

Het antwoord op je vraag is in het algemeen neen. Dit komt omdat je randvoorwaarden dit niet in het algemeen toelaten. Laat mij verduidelijken wat ik bedoel, want het antwoord is JA indien de willekeurige kromme, juist 1 brandpunt van de ellips en het raakpunt op de willekeurige kromme gegeven zijn.

Wat loopt er verkeerd indien er twee brandpunten gegeven zijn en niet het raakpunt op de kromme? Het probleem is eenvoudig. Daar de kromme niet analytisch  te beschrijven valt, moet je het raakpunt geometrisch kunnen construeren. Dit raakpunt is een snijpunt met de willekeurige kromme wat een heel 'vieze' functie kan zijn, dus dit snijpunt hoeft geen zogenaamd 'construeerbaar punt' te zijn.

De situatie is zelfs nog veel erger. Mocht je wel een analytisch voorschrift van de kromme bezitten, dan moet je analytisch een snijpunt met de kromme bepalen, namelijk net het raakpunt op de kromme. Deze functie zal voldoende braaf (of eenvoudig) moeten zijn om dit analytisch te kunnen. Indien deze functie niet eenvoudig genoeg is, zal je de kromme ofwel moeten benaderen ofwel een numerieke algoritme gebruiken (zoals Newton-Gauss of Levenberg-Marquardt).

Laten we je randvoorwaarden wijzigen. Stel dat we weten waar we de kromme willen raken, en een brandpunt kennen. Dan gaan er oneindig veel ellipsen raken aan de kromme in je gekozen raakpunt met jouw gekozen brandpunt. Hieronder staat een methode die er eentje, namelijk de makkelijkste, construeert.

In de figuren zie je de verschillende stappen die je moet doorlopen. De eerste figuur is de startpositie. Dan teken je door het raakpunt C de raaklijn (Fig. 2). Vervolgens, spiegel je het brandpunt F1 ten opzichte van de raaklijn tot het punt F1' (Fig. 3). In de volgende stap, teken je de horizontale door het brandpunt F1 (Fig.4). Dan teken je de rechte door de punten C en F1' en het snijpunt van deze twee rechten is het brandpunt F2 (Fig. 5). (Eigenlijk is ieder punt, aan dezelfde kant van de kromme als het brandpunt F1, op de rechte CF1' een goed tweede raakpunt. Dit zorgt er net voor dat er oneindig veel raakellipsen zijn)

Nu gaan we de kleine as van de ellips maken. Het midden tussen F1 en F2 is het middelpunt van de ellips. Teken de vertikale doorheen het middelpunt. Meet de som van de afstanden van F1 tot C en van C tot F2. Meet het punt op de vertikale as, waar de afstand tot F1 net de helft is van de afstand die je net berekend hebt. Dat is het punt B en langs de onderkant het punt B' (Fig. 6). De lange as is eenvoudiger, het is de helft van de afstand die je berekend hebt. Dit geeft je de punten A en A'. Dan heb je alles om de ellips te tekenen. (Fig. 7)

Hopelijk heb ik je een leuk alternatief aangeboden, want in het algemeen zal de wiskunde jou met je gestelde condities geen antwoord bieden.

Een zeer fijn boek omtrent zulke problemen is: Eagles T. H., Constructive geometry of plane curves. With numerous examples, Ann Arbor, Michigan: University of Michigan Library, 2005.

Groeten,

Kurt

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen