Stel dat ik een cirkel heb van 35cm, hoeveel cirkels van 1cm doorsnede kan ik in die grote cirkels plaatsen?

Antwoord

Laten we voor alle duidelijkheid de vraag op een meer exacte en algemene manier formuleren: "Hoeveel gelijke cirkels van diameter d passen er maximaal in een cirkel van diameter D, zodanig dat deze cirkels elkaar raken?". Dit is een interessant en moeilijk probleem waar geen algemeen antwoord op bestaat. M.a.w. er bestaat geen formule of een algorithme dat een antwoord geeft voor alle waarden van d en D. Voor sommige waarden kunnen we wel een exact antwoord geven. Vanzelfsprekend is dit 1 voor D/d = 1, 2 voor D/d= 2 en iets moeilijker om aan te tonen: 8 voor D/d = 3.

Een afgeleide vraag is "wat is de kleinste verhouding D/d, voor een gegeven aantal cirkels N die elkaar raken?". Merkwaardig genoeg is dit een vraag die zeer moeilijk is om exact te beantwoorden. We kennen tot hiertoe enkel de optimale waarden van D/d voor N tot 13. De bijgaande figuur toont de eerste zes. Verschillende onderzoekers doen berekeningen naar de vermoedelijk laagste waarden van D/d voor N tot 500 (zie bijgaande links). Voor 500 cirkels is D/d nog steeds kleiner dan 25. Als we de vraag herformuleren als: "Wat is de maximum N voor D/d = 35?", dan kunnen we daar geen exact antwoord op geven. Wat we wel kunnen is een absolute bovengrens formuleren. Begin 19de eeuw bewees Carl Friedrich Gauss  dat je met een honinggraatpatroon de meeste cirkels per oppervlakte kan plaatsen en dat de densiteit daarvan gelijk is aan 0,9068 (zie formule). Als we dit vermenigvuldigen met de oppervalkte van de grote cirkel en afronden naar beneden dan komen we aan 872. Het maximum aantal aaneenrakende cirkels van 1cm in een cirkel van 35 cm doorsnede kan dus nooit groter zijn dan 872.