Stel dat ik een cirkel heb van 35cm, hoeveel cirkels van 1cm doorsnede kan ik in die grote cirkels plaatsen?

Tom, 17 jaar
9 oktober 2008

Antwoord

Laten we voor alle duidelijkheid de vraag op een meer exacte en algemene manier formuleren: "Hoeveel gelijke cirkels van diameter d passen er maximaal in een cirkel van diameter D, zodanig dat deze cirkels elkaar raken?". Dit is een interessant en moeilijk probleem waar geen algemeen antwoord op bestaat. M.a.w. er bestaat geen formule of een algorithme dat een antwoord geeft voor alle waarden van d en D. Voor sommige waarden kunnen we wel een exact antwoord geven. Vanzelfsprekend is dit 1 voor D/d = 1, 2 voor D/d= 2 en iets moeilijker om aan te tonen: 8 voor D/d = 3.

Een afgeleide vraag is "wat is de kleinste verhouding D/d, voor een gegeven aantal cirkels N die elkaar raken?". Merkwaardig genoeg is dit een vraag die zeer moeilijk is om exact te beantwoorden. We kennen tot hiertoe enkel de optimale waarden van D/d voor N tot 13. De bijgaande figuur toont de eerste zes. Verschillende onderzoekers doen berekeningen naar de vermoedelijk laagste waarden van D/d voor N tot 500 (zie bijgaande links). Voor 500 cirkels is D/d nog steeds kleiner dan 25. Als we de vraag herformuleren als: "Wat is de maximum N voor D/d = 35?", dan kunnen we daar geen exact antwoord op geven. Wat we wel kunnen is een absolute bovengrens formuleren. Begin 19de eeuw bewees Carl Friedrich Gauss  dat je met een honinggraatpatroon de meeste cirkels per oppervlakte kan plaatsen en dat de densiteit daarvan gelijk is aan 0,9068 (zie formule). Als we dit vermenigvuldigen met de oppervalkte van de grote cirkel en afronden naar beneden dan komen we aan 872. Het maximum aantal aaneenrakende cirkels van 1cm in een cirkel van 35 cm doorsnede kan dus nooit groter zijn dan 872.

Reacties op dit antwoord

  • 24/10/2008 - Tom (vraagsteller)

    Beste, Dank u voor uw antwoord. Deze opdracht was een taak in onze les wiskunde. We zijn laatstejaars studenten Industriele Wetenschappen. Wij hebben berekend dat er in een cirkel met diameter 35 cm 1071 cirkels passen met een diameter van 1 cm. Wij hebben dit berekend volgens het honingraad principe. Als we volgens concentrische cirkels berekenen vonden wij 952 cirkels zonder rekening te houden met inzakking van de cirkels. Met vriendelijke groeten, Tom

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

dr. Albrecht Heeffer

Filosofie en geschiedenis van de wiskunde. Specialisatie middeleeuwen, Renaissance en vroeg-moderne periode. Symbolische algebra. Recreatieve wiskunde.

Universiteit Gent

http://www.ugent.be

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen