Twee evenwijdige rechten snijden elkaar in het oneindige. Onder welke hoek?

Jan, 58 jaar
27 augustus 2008

Waarom heeft men het begrip oneindig nodig in de wiskunde?

Antwoord

Beste Jan,

Dit is een interessante vraag, maar een niet zo eenvoudig antwoord. Eigenlijk is het begrip oneindig een axioma. Het oneindigheidsaxioma in de getaltheorie garandeert het bestaan van een verzameling die alle natuurlijke getallen bezit.

Het is een feit dat niet alle wiskundigen dit axioma aanvaarden. Een axioma is een logische uitspraak die als je ze aanvaardt geen tegenstrijdigheden teweeg brengt, maar ook diens negatie mag geen tegenstrijdigheden teweegbrengen.

Zeggen dat oneindig niet bestaat is ook een axioma! Het finitisme is een stroming binnen de wiskunde die het oneindigheidsaxioma niet aanvaardt en bijgevolg werkt met strikt eindige verzamelingen.

Hebben we oneindig nodig? In principe niet, nee. De wiskunde zal even sterk zijn en nog steeds de natuur kunnen beschrijven enz... . Het begrip oneindig is een abstractie die ons vaak het leven makkelijker maakt om complexe dingen te beschrijven, indien je oneindig niet langer toelaat zal je ergens anders een abstractie moeten invoeren. Laat mij een voorbeeld geven.

Je kan aantonen dat indien je in de eenvoudige rekenkunde het oneindigheidsaxioma niet aanvaardt, je een meervoudige logica krijgt. Niet alle uitspraken zijn waar of vals. Je krijgt een logisch systeem 0,1,2 en niet langer 0,1. Bijgevolg krijg je een ander abstractieniveau.

Er zijn nog andere stromingen binnen de wiskunde. Het platonisme, intuitionisme, finitisme, constructivisme, formalisme, ... . Zie bijgevoegde link. Er is nog steeds een onderzoeksgebied van de wiskunde die met grondslagen van de wiskunde heet. Zij vragen zich af onder welke stromingen bepaalde stellingen nog geldig blijven of een alternatief kennen. Ook proberen zijn bijvoorbeeld de relativiteitstheorie in een axiomatisch kader te plaatsen enz... . De meeste wiskundigen zijn niet zo strikt bezig met een filosofische stroming.

Nu, wat betreft je vraag: wat is de hoek tussen twee evenwijdige rechten. Klassiek zou je zeggen dat er geen hoek is want deze snijden niet, maar ze hebben wel dezelfde richting.

Een alternatieve definitie is dat de hoek tussen twee rechten gedefinieerd wordt als de hoek tussen hun respectievelijke vectorrechten (de vectorrechte is de rechte verschoven naar de oorsprong maar je behoudt natuurlijk de richting). Zo krijg je onder die definitie dat twee evenwijdige rechten elkaar snijden onder de hoek 0.

Het maakt niet uit of je aan meetkunde doet met of zonder het punt op oneindig. Desargues (1639) voerde het punt op eindig in, omdat het hem toeliet om alle rechten op eenzelfde manier te behandelen. Het is een interessant abstractieniveau die elegante bewijzen voortbrengt en enkele leuke rekenregels met toegevoegde lijnen en punten. Uiteindelijk kan je aantonen dat alle stellingen die geldig zijn in het projectieve vlak (met punt op oneindig) ook geldig zijn in het affiene vlak (zonder het punt op oneidig).

Hopelijk maakt dit veel duidelijk of via de bijgevoegde links.

Groeten,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen