Betekent het iets als je opeenvolgende natuurlijke getallen vermenigvuldigt en deelt door de som van dezelfde opeenvolgende natuurlijke getallen?

Jochen , 39 jaar
30 oktober 2022

Bijvoorbeeld 7*8*9/7+8+9=21, of 820*821*822/820+821+822=224860 Betekent dit iets?

Antwoord

Eigenlijk wil je uitzoeken of het product van drie opeenvolgende natuurlijke getallen gedeeld door hun som zelf ook een natuurlijk getal is.

Neem dus de opeenvolgende natuurlijke getallen n-1, n en n+1    (zinvol vanaf n=1)

De vraag is dus of  z = (n-1).n.(n+1) / ( 3n +1-1 )  =  (n.n-1)/3    natuurlijk is (dus positief en geheel)

Drie mogelijkheden:

1) als n zelf een drievoud is: dus stel n = 3k met k natuurlijk getal,  dan is  z = (9k.k-1) /3 = 3k.k - 1/3  en dat is wegens dat 1/3 nooit natuurlijk. Dus als n zelf een drievoud is lukt het niet. z heeft dan steeds een  .66666...  na de komma.

2) als n zelf een drievoud+1   is: dus stel n = 3k+1, dan is z = [(3k+1).(3k+1) -1] /3 = (9k.k+6k+1-1) / 3 = 3k.k+2k   en dat is altijd natuurlijk want k is zelf natuurlijk.

3)  als n zelf een drievoud+2 is: dus stel n = 3k+2, dan is z =  [(3k+2).(3k+2) -1] /3 = (9k.k+12k+4 -1) / 3 = 3k.k+4k+1. en dat is altijd natuurlijk.

Dus het lukt met alle natuurlijke getallen die zelf geen drievoud zijn: n = 1  2  4  5  7  8  10  11  13  14  ....

Het lukt niet met  n = 3  6  9  12  15  ...

Betekent dit iets? ja, het betekent dat n geen drievoud mag zijn, maar wel een drievoud+1,  of een drievoud+2

Verder kan je daar niets achter zoeken. 

Reacties op dit antwoord

  • 09/11/2022 - Jochen  (vraagsteller)

    Geachte professor Heb iets niet begrepen. Zie onderaan de vraag ( de bewerking lukt wel met (2*3*4)/(2+3+4) komt uit op 2.666 terwijl u zei dat het bij het natuurlijk getal 2 wel kon. Heb zelf nog gerekend en kwam tot dezelfde conclusie als u in de berekening. Maar de formule is me onduidelijk.

  • 09/11/2022 - Jochen  (vraagsteller)

    Bij 3 is het (3*4*5)/(3+4+5)=5 bij 6 is het (6*7*8)/(6+7+8)=16 waar u zei dat het bij deze getallen het niet kon.

  • 10/11/2022 - Paul (wetenschapper)

    Ja maar let op: met n bedoel ik niet het eerste getal van de drie maar het middelste van de drie. Zie het begin van mijn afleiding. Door n het middelste te nemen wordt het rekenwerk wat makkelijker: dan is (n-).n.(n+1) gelijk aan n.(n^2-1) en zo valt die n direct weg met een n in de noemer van z. Dus het lukt niet als het middelste getal aan drievoud is.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw