Kan ik de zijdelingse oppervlakte van een kegel als omwentelingslichaam berekenen?

Willy, 73 jaar
10 oktober 2021

Neem de functie y=x/2 en laat de grafiek wentelen om de x-as. Kan ik nu de zijdelingse oppervlakte berekenen van de kegel via integraal 2pi.y.wortel(1+(y')kwadraat).dx met grenzen 0 en bv x=4

Antwoord

(1) Dat kan zeker: want als y = x/2  dan is y' = 1/2.

De integraal is dan:  2 pi int ( x/2 . wortel(1+1/4) dx   tussen x = 0 en x = 4

Dus S = pi wortel(5) / 2 int(x, x=0..4) = 4 wortel(5) pi

(2) Je kan ook in het algemeen werken: voor een kegel met straal R en hoogte H van de kegel is y = R/H.x   en vind je op dezelfde manier  S(zijdelings) = pi R wortel(R^2 + H^2)

Met uw R = 2 en H = 4 bekom je dan inderdaad  pi . 2 . wortel(20) = pi . 4 . wortel(5)

(3) MAAR... het kan ook zonder een integraal.

Stel dat je de kegelwand openlegt, een beetje als een groot stuk taart op de bijgaande figuur. De kegel heeft weer straal R en hoogte H. De straal van het opengeplooide cirkelsegment is dan Z, de schuine lengte van de kegel, dus Z = wortel(R^2+H^2); de lengte van de boog van de cirkelsector is 2.pi.R, de omtrek van het grondvlak van de oorspronkelijke kegel.

De centrale hoek in radialen is dan die booglengte gedeeld door de straal, dus  2.pi.R / Z

De oppervlakte van een cirkelsector met straal r en hoek t (in radialen!) is in het algemeen  0.5 r^2 . t    (want als t = 2.pi krijg je inderdaad de oppervlakte van een cirkel).

Dus hier wordt dat, met r = Z  en  t = 2.pi.R / Z  =  0.5 Z^2 . 2 pi R / Z  = pi R  Z = pi R wortel(R^2 + H^2) = pi 2 wortel(20) = 4 pi wortel(5)

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen