Hoe bepaal je een functievoorschrift aan de hand van een grafiek?

Ess, 18 jaar
23 december 2020

Ik begrijp niet zo goed hoe we een functievoorschrift moeten bepalen die alle karakteristieken (nulpunten, assymptiten, ... ) heeft van een gegeven grafiek. In bijlage heb ik een afbeelding toegevoegd van twee grafieken, waarvan we de functievoorschrift moeten bepalen.

Antwoord

Beste Ess, 

de figuren zijn niet eenduidig om een unieke functie te definiëren die er zo uit ziet, en bovendien zijn de assen nogal grof weergegeven. 

Ik ga dus enkele veronderstellingen moeten maken en me beperken tot wat algemene richtlijnen.

Om te beginnen: elk punt in het vlak heeft een x-coordinaat en een y-coordinaat.  De lijnen die je op de figuur ziet, koppelen een y-coordinaat aan elke x-coordinaat: als je de x-coordinaat kent, kun je de (unieke) y-coordinaat vinden die bij die x-waarde hoort.  Die berekening kunnen we schrijven als y=f(x).  De functie f vertelt je welke berekeningen je op x moet uitvoeren om y te bekomen.  Als je die berekening voor elke waarde van x doet, bekom je de bijhorende waarde van y.  Die verzameling punten ligt op een kromme, en dat is wat je getekend ziet.

Nu, in het probleem dat jij hier voorlegt, krijg je die kromme, en wordt van jou gevraagd een "redelijke" f te formuleren die een gelijkaardige kromme geeft.  Je zult je dan moeten beperken tot een bepaalde klasse van functies, en ik vermoed dat je alleen functies wilt beschouwen die veeltermen zijn, of rationale functies:

  • een veelterm heeft de vorm y = f(x) = a*x^n + b*x^{n-1} +.... + d, met n een natuurlijk getal en a, b, ..., d ook gekende getallen.
  • een rationale functie heeft de vorm y = f(x) = p(x)/q(x) met p(x) en q(x) veeltermen.

Nu, wat kunnen we weten over dit soort functies op basis van bovenstaande figuur. Hoe je dit technisch moet doen, staat in elk handboek wiskunde over dit onderwerp en op vele plaatsen op het internet goed uitgewerkt. Ik beperk me tot de principes: wat proberen we te doen, in welke volgorde, en waarom. Als je dat weet, zal je de uitwerkingen wel kunnen terugvinden.

1) Het eerste wat we moeten bekijken zijn de nulpunten.  Dit zijn die waarden van x waarvoor y=0.  In de linkerfiguur zijn dat 0, 1, 2, en 3.  We moeten dus een veelterm vinden die nul wordt in deze punten. Een handige manier om dat te doen is te schrijven y = a * x * (x-1) *(x-2)*(x-3).  Als je dit product uitwerkt, krijg je een veelterm van de vorm die eerder al is gegeven.

Je merkt dat we die veelterm kunnen vermenigvuldigen met een willekeurig getal a, en dat de nulpunten daardoor niet veranderen. Wat die a is, kan je proberen af te leiden uit de hoogte van de maxima.  Je berekent dan de afgeleide van je veelterm en kijkt waar die 0 wordt. De x-waarde waarvoor de afgeleide 0 wordt, is een maximum van de oorspronkelijke functie.  Je kan dan de oorspronkelijke functie evalueren in dat punt, en a zo kiezen dat de waarde van de functie in het maximum gelijk is aan 1 (wat mij redelijk lijkt op basis van de figuur).

Voor de linkerfiguur is dit genoeg. Er is geen reden om aan te nemen dat die functie geen veelterm is.

2) De rechterfiguur is wat ingewikkelder.  Je ziet dat die functie discontinu en oneindig is in bepaalde punten. Dat noemen we verticale asymptoten. Als we uitgaan van een rationale functie f(x)=p(x)/q(x) , dan kan je makkelijk inzien dat zo'n rationale functie oneindig wordt in een een nulpunt van de noemer (dat geen nulpunt is van de teller).  In dat geval krijg je namelijk "iets eindigs" gedeeld door 0.

Ik kan uit de figuur niet afleiden waar die verticale asymptoten precies liggen, maar x = 1 en x = -1 lijken me een redelijke gok.  

We weten nu dus dat f(x) = p(x)/(x^2-1), want de noemer daarvan wordt 0 voor x = 1 en x=-1, en over de teller hebben we nu nog niks gezegd.

Nu je dit weet, kunnen we aan de slag voor de teller.  We zien dat x=0 een nulpunt is, en zelfs een meervoudig nulpunt, aangezien de functie de x-as lijkt te raken in 0 (en dus niet van teken wisselt daar). De teller bevat dus al zeker een factor x^2.  Daarnaast zien we ook dat voor heel grote x-waarden en heel kleine x-waarde de functie begint te lijken op een rechte, dus van de vorm

y=a*x+b.

De waarden a en b voor een goede rechte die dicht aansluit bij de figuur zou je uit de figuur kunnen afleiden. Die zijn gekend.

Die rechte heet een schuine asymptoot en je moet ervoor zorgen dat je functie f(x)=p(x)/(x^2-1) steeds dichter bij die rechte komt als x groeit. Je eist dus dat de limiet voor x gaande naar oneindig overeenkomt met die rechte die je al hebt.  Hoe je dit technisch moet doen, kan je op vele plaatsen op het internet wel vinden. 

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen