Bestaat er een rij die zowel rekenkundig als meetkundig is?

Irene, 16 jaar
27 januari 2020

Antwoord

Beste Irene,

Een triviale rij: 1,1,1,1,1,.....,1,.... Bij uitbreiding zijn alle triviale rijen die constant zijn zowel meetkundig als rekenkundig. Elke meetkundige rij met rede q=1 is een rekenkundige rij met verschil v=0. Er zijn geen andere omdat een meetkundige rij exponentieel toeneemt in functie van de index n aangezien haar n-de element gelijk is aan t1 .q^{n-1} terwijl voor een rekenkundige rij de toename lineair is in functie van n. Haar n-de element is immers gelijk aan t_1 +(n-1) v. Exponentiële functies en lineaire functies zijn alleen maar dezelfde indien ze gereduceerd worden tot de triviale constante functie.

Er zijn wel enkele andere interessante observaties hieruit af te leiden:

1. De logaritme - gelijk in welke basis - van een meetkundige rij, wordt een rekenkundige rij wiens n-de element gelijk is aan log(t1 q^{n-1})=log(t1)+(n-1) log(q) en dus als verschil v=log(q) heeft.

2 Er zijn rijen die we rekenkundig-meetkundig noemen (https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetico%E2%80%93geometric_sequence). Deze zijn een multiplicatieve combinatie van een meetkundige en rekenkundige rij. Beschouw een rekenkundige rij met verschil v en een meetkundige rij met rede q dan kan je volgende rij maken:

t1=ab

t2=(a+v)bq

t3=(a+2v)bq^2

...

tn=(a+(n-1)v)bq^{n-1}

Dergelijke rijen hebben interessante eigenschappen en laten vaak toe rijen met breuken netjes te bestuderen.

Veel plezier,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen