Heeft deze berekening een uitkomst?

Rhune, 16 jaar
2 januari 2020

Antwoord

Beste Rhune,

De uitkomst is pi. De opgave is een valstrik, de daadwerkelijke integraal (primitieve functie) is moeilijk te berekenen met de standaardmethoden. De reden ertoe vinden we in de eerste term. Als we die term bekijken, dan zien we als integrand:

x3 cos(x/2) (4-x2)1/2

De primitieve van deze functie kan niet voorgesteld worden als functie van gekende functies - wat we meestal elementaire functies noemen. Toch kunnen we deze voorstellen als een reeks van elementaire functies die een benadering aanlevert van haar primitieve. Gelukkig hebben we een dergelijke complexe berekening niet nodig voor de opgave. 

Inderdaad, we kunnen de oplossing veel gemakkelijker bepalen. We merken volgende belangrijke zaken op:

1. Het integratieinterval is symmetrisch rond 0

2. De functie x3 cos(x/2) (4-x2)1/2 is oneven op haar domein [-2,2]

Bijgevolg is de bijdrage van deze term aan de integraal 0. De opgave levert dus precies dezelfde oplossing op als de integraal op het domein [-2,2] van de functie - namelijk de tweede term in de opgave -

1/2 (4-x2)1/2

De functie (4-x2)1/2 stelt de bovenste helft van de cirkel voor met middelpunt 0 en straal 2. De oppervlakte van de cirkel met straal 2 is gelijk aan 4 pi. Bijgevolg is de integraal van 1/2 (4-x2)1/2 gelijk aan pi. Dit is een mooi voorbeeld waar je louter met meetkundig inzicht de integraal kan berekenen waarbij de analytische uitwerking heel moeilijk is omdat je machtreeksen nodig hebt. Als je wil zien hoe je de primitieve (of onbepaalde integraal) wil berekenen in functie van een machtreeks, kan je de uitwerking vinden in bijlage (In die bijlage zie je de berekening alleen voor de eerste term - kan je zelf de primitieve berekenen voor de tweede term wat veel gemakkelijker is?). Die laat toe om de oppervlakte te benaderen op gelijk welk ander deelinterval van haar domein.

Vriendelijke groeten,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen