Bestaat de afgeleide in dit wiskundevraagstuk?

Wilfried, 52 jaar
2 november 2019

Ik ben al een tijdje succesvol bezig als bijlesgever wiskunde maar ik zit nog met vraag waar niemand me vooralsnog een antwoord op kan geven en internet evenmin. We weten allemaal dat lim ( 1 / |x| ) , bestaat nl +oneindig is x->0 Op wiki staat het volgende : Een continue functie f(x) is differentieerbaar in 'a' als volgende limiet bestaat : lim ( f(x)-f(a) ) / (x-a) ) x-->a Wat bedoelen ze precies met 'bestaat' ? Mag die limiet ook oneindig zijn ? Vb : de functie f(x) = sqr (x) als x>= 0 f(x) = -sqr(-x) als x<0 Deze functie is overal continu lim ( f(x)-f(0) ) / (x-0) ) = + oneindig (zowel links als rechts ) x-->0 Maar is deze functie differentieerbaar in 0 ? Indien 'ja' dan is alles ok voor mij. Indien 'nee' dan moet toch de definitie op wiki lichtjes aangepast worden (volgens mij) nl het woord 'bestaat' vervangen door 'een reëel getal is'. Alavast bedankt voor uw feedback!

Antwoord

Beste Wilfried,

Het woord 'bestaat' is niet onbelangrijk en impliceert dat de limiet eindig moet zijn alsook bereikt moet worden ongeacht de richting hoe het limietpunt bereikt wordt. Voor functies van R naar R, kan je maar op twee manieren het limietpunt bereiken, langs rechts of langs links. Dit wordt meestal de linker -en rechterlimiet genoemd. Als deze limieten eindig zijn maar verschillend, dan bestaat de limiet niet. De linker- respectievelijk rechterlimieten bestaan wel.

Differentieerbaarheid in een punt is een lokale eigenschap die een functie heeft in een omgeving van dat punt. Aangezien de afgeleide een limiet is, kan op eenzelfde manier een linker- en rechterafgeleide bepaald worden.

In je voorbeeld: f(x)=sign(x) sqrt(abs(x)) indien ik het kort mag schrijven m.b.v de tekenfunctie bekomen we een continue functie die overal differentieerbaar is behalve in 0. De afgeleide functie is namelijk 1/(2 sqrt(abs(x))). Je ziet dus dat het een stijgende functie is aangezien de afgeleide functie steeds positief is, maar x=0 behoort niet tot het domein van de afgeleide functie. Inderdaad diens limiet is +oneindig ongeacht of deze limiet wordt uitgerekend vanuit de linker alsook de rechterkant van x=0.

De afgeleide functie van f(x) bestaat maar heeft een singulariteit in 0. We zeggen dat deze functie f(x) niet-continue differentieerbaar is omdat de afgeleide functie geen continue functie is.

Laten we nog een voorbeeldje nemen. Om in je voorbeeldsfeer te blijven, nemen we f(x)=sqrt(abs(x)). In dit geval is de functie f(x) continu maar opnieuw niet differentieerbaar in x=0. Hoewel dit om een gelijkaardige reden is, is het lichtjes erger. In dit geval is de afgeleide functie sign(x)/(2 sqrt(abs(x))). We zien dat de limiet voor deze afgeleide functie naar x=0 vanuit x>0 gelijk wordt aan +oneindig, terwijl dit voor x<0 gelijk wordt aan -oneindig.

Laten we een monsterachtigere functie nemen: f(x)=x^2 sin(1/x). Deze functie is continu hoewel we al aanvoelen dat er iets vreemds gebeurt in 0. De oscillaties ten gevolge van de sinusfunctie worden arbitrair snel. De functie x^2 zorgt er echter voor dat deze oscillaties worden onderdrukt opdat we continuïteit bekomen. De afgeleide functie wordt gegeven door: 2 x sin(1/x)-cos(1/x). De limiet in x=0 bestaat niet, noch in de ene, noch de andere richting. De tweede term bestaat uit cos(1/x) waarbij cos(oneindig) een onbepaaldheid is.

Laten we ten slotte een lieve functie nemen: f(x)=abs(x). Deze functie is ook continu. Haar afgeleide functie is sign(x). De limiet in x=0 bestaat niet, want de linkerlimiet (x<0) is -1 terwijl de rechterlimiet (x>0) gelijk is aan 1. De linker- en rechterafgeleiden bestaan en worden gegeven door eindige getallen, maar aangezien deze niet gelijk zijn is de functie niet differentieerbaar in 0. De functie is niet continu differentieerbaar, hoewel er geen singulier punt is in de afgeleide functie maar een discontinuïteit door een sprong.

Kortom: differentieerbaarheid of bestaan van een limiet impliceert een eindig getal alsook onafhankelijkheid van de weg die gevolgd wordt om dat limietpunt te bereiken. Voor meerdimensionale functies is dat laatste een pak uitdagender omdat je natuurlijk oneindig veel paden hebt om een limietpunt te bereiken.

Indien alleen de linker- of rechterafgeleide eindig is spreekt men soms over een semi-differentieerbare functie. In meer dimensies geeft dit aanleiding tot de richtingsafgeleiden.

Een leuk weetje wat je bijlesopdracht voorbij gaat, ook wiskundigen liggen wakker van de subtiliteit die je aangeeft. Inderdaad we voelen aan dat er een onderscheid moet gemaakt worden tussen de echte monsters waarbij de limiet voor de afgeleide niet bestaat of oneindig is, versus de brave functies die een linker en rechterafgeleide hebben. We kunnen het differentieerbaarheidsbegrip afzwakken.

Zo heb je de subdifferentiaal of subafgeleide die alle convexe functies kan differentiëren. Dit betekent dat voor de functie f(x)=abs(x) de subdifferentiaal in x=0 bestaat. De subdifferentiaal speelt een centrale rol in een speciale tak van de analyse wat men de Convexe Analyse heet. Dit is heel belangrijk in het domein van de numerieke optimisatie alsook wiskundige programmering.

Verder hebben we ook de zwakke afgeleide die gedefinieerd is voor functies die absoluut integreerbaar zijn. We kunnen door de integreerbaarheid, gebruik maken van partiële integratie om een differentieerbaarheid te "forceren" als je wil. Inderdaad volgens de partiele integratie geldt:

\int_a^b f(x)g'(x)dx=- \int_a^b f'(x)g(x)dx

voor continu differentieerbare functies g(x) zodat g(a)=0=g(b). Een functie f(x) heeft een zwakke afgeleide functie indien je een functie f'(x) kan vinden zodat voor alle functie g(x) die aan de voorwaarde voldoen, de gelijkheid in de partiële afgeleide impliceert. Op die manier heeft de functie f(x)=abs(x) ook een zwakke afgeleide. Deze is de functie f'(x)=sign(x) waarbij deze in 0, gelijk is aan 0. De afgeleide in x=0 voor abs(x) bestaat niet, de linker en rechterafgeleide wel die respectievelijk -1 en 1 is terwijl haar zwakke afgeleide gelijk is aan 0. De laatste definitie van differentieerbaarheid speelt een rol in heel wat hogere analyse.

Wiskundigen veralgemenen graag opdat alles precies gekarakteriseerd kan worden: de brave maar ook monster functies.

Ik hoop dat je dit uitvoerig antwoord een prettige aanvulling vindt. Je kan wat opzoekingswerk doen want er zijn nog heel veel meer uitbreidingen en interessante begrippen - hoewel dit snel moeilijk wordt :-) . Zoek maar eens op Sobolev-ruimten, Hölder-continuïteit, Lipschitz-continuïteit. Verzachtende begrippen om tussen de monsters, de bravere van de stoutere monsters te onderscheiden onder de functies.

Veel plezier,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

  • 07/11/2019 - Wilfried (vraagsteller)

    Dag Kurt , Bedankt voor uw heldere en leerrijke info ! (Ik heb zelf aan de VUB gestudeerd , Kandidatuur Fysica behaald , na lange loopbaan in ICT terug naar Wiskunde/Fysica als bijlesgever) Even terug naar mijn oorspronkelijke vraag. Uw antwoord de afgeleide 'bestaat niet', OK, dat is al een verheldering. Maar een stapje veder. In functieverloop spreekt men nu van 'keerpunten' , 'knikpunten' . 32 jaar geleden was dat (voor zover ik me herinner) nog niet ingevoerd , of werd er geen aandacht aan besteed. Even terugblikken naar mijn oorspronkelijke functie. f(x) = sqr|x| als x >= 0 , f(x) = -sqr|x| als x < 0 . Is er een knikpunt in 0 , een keerpunt in 0 , heeft dat punt geen naam , of heeft dat punt nóg een andere naam ? Knikpunt , Keerpunt heeft geen definitie op Wiki(NL). Voor gewone functies is alles me vrij duidelijk. (na wat opzoekingswerk). Maar wat voor de aangehaalde 'speciale' functie ? Wilfried

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

Prof. Dr. Kurt Barbé

Wiskunde, statistiek, kansrekening, wetenschappelijk rekenen

Vrije Universiteit Brussel
Pleinlaan 2 1050 Elsene
http://www.vub.ac.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen