Is dit een te vergezochte manier om op pi uit te komen?

Julian, 14 jaar
28 oktober 2019

Ik heb iets bedacht, maar het is misschien een beetje te diep gedacht, maar wel bijzonder. Stel je eens voor dat er geen energie wordt verloren en dus ook geen wrijving. Je schiet een blokje van 1 kg af met een snelheid van 1m/s. Op gegeven moment komt het blokje tegen een ander blokje van 1 kg dat stilstaat. Het impuls wordt dus doorgeven aan het andere blokje. Uiteindelijk krijg je drie botsingen. De eerste is de twee blokjes tegen elkaar. De tweede botsing is tegen de muur en laatste weer tegen elkaar (hieronder een voorbeeld).

1kg vs 1kg
|
| [] <-[]
----------------

|
| [][]
_______________

|
| <-[] []
________________

|
| []-> []
_______________

|
| [][]
______________

|
| [] []->
_________

Nu gaan we nog verder, want nu gaan we het blokje wat je afschiet 100 keer groter maken.
(zie: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Momentum)
Als je hiernaar surft, moet je kijken onder 'Newtonian' en dan onder 'Elastic collisions'. Dan zie de formule waarmee ik heb gerekend.
En dan blijkt dat je met een blokje van 100kg en een blokje 1kg 31 botsingen krijgt. Want ik denk dat het blokje van 1 kg net zo vaak heen en weer gaat totdat de 100kg weer terugkeert.

Nu kan je nog verder gaan en een blokje van 10.000 kg afschieten op een blokje van 1 kg, want je moet dan stappen van 100 keer zo groot maken bij het afschietblokje. Maar met 10.000 kg vs 1 kg komen er 314 botsingen uit.
Uiteindelijk komen de getallen van pi eruit. Maar ik snap niet waarom (dit is iets waar ik nog veel over twijfel).

Antwoord

Beste Julian,

Dat klopt inderdaad. Het is niet verdacht maar helemaal correct. Dit staat netjes uitgelegd hier: https://www.youtube.com/watch?v=jsYwFizhncE

In dit filmpje snijdt men een bijzondere tak aan van de toegepaste wiskunde: Dynamische systemen of systeemtheorie. In deze tak van de toegepaste wiskunde proberen we fysische systemen te begrijpen door deze wiskundig te modeleren. Als je dat op een gepaste (goed gekozen) manier doet, bekom je het systeem haar toestandvergelijking die wiskundig gemakkelijk te analyseren valt. In je voorbeeld is het systeem een zogenaamd discrete tijd systeem omdat het systeem springt van toestand naar toestand. De snelheden veranderen per botsing maar tussen botsingen in verandert er aan de toestanden niets. Een systeem kan ook continue tijd zijn zoals de prijs in financiële markten of de bloeddruk van een patiënt. Elke keer als de markt zich in een bepaalde toestand bevindt zal de prijs van je financieel product veranderen maar de markt is constant in beweging. De bloeddruk wordt beïnvloed door andere parameters die we de toestanden heten en als deze parameters veranderen zal de bloeddruk veranderen. Je voelt dat toestanden de actoren zijn die de veranderen induceren.

Een ander leuk weetje is dat in jouw voorbeeld de eigenschappen van het systeem gekend zijn of thans je kent de massas van de blokjes en de beginsnelheid van je eerste blokje. Je bent op zoek hoe het systeem verandert. In de toegepaste wiskunde is het vaak het inverse probleem wat moeilijker is. Je observeert de verandering van het systeem maar je wil het systeem kennen. Je wil uit wat je observeert de massa van de blokjes bepalen en de beginsnelheid. Dit probleem heet men in de wiskunde systeemidentificatie.

Deze elastische botsingen leveren inderdaad een constructie op van het getal pi maar haar oplossing zit verscholen in wiskunde die dagelijks door veel ingenieurs en andere wetenschappen gebruikt worden om andere "systemen"die veranderen over de tijd te doorgronden.

Vriendelijke groeten,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

Prof. Dr. Kurt BarbĂ©

Wiskunde, statistiek, kansrekening, wetenschappelijk rekenen

Vrije Universiteit Brussel
Pleinlaan 2 1050 Elsene
http://www.vub.ac.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen