Kun je de primitieve van x^x berekenen?

Noah, 17 jaar
22 september 2019

Het is mij wel gelukt om de afgeleide van x^x uit te rekenen, maar de primitieve lukt mij niet. Is het eigenlijk wel mogelijk om de primitieve van x^x uit te rekenen?

Antwoord

Nee, dat is niet mogelijk. Er zijn heel wat functies waarvoor het niet mogelijk is om een analytische vorm te vinden voor de primitieve.  Misschien het bekendste voorbeeld is de Gaussiaanse klokfunctie, die de kansverdeling voorstelt van de normaalverdeling.  

Soms, zoals bij die klokfunctie, is de primitieve zo belangrijk dat ze gedefinieerd wordt (en dus een naam krijgt).  Zo is de primitieve van de klokfunctie de zogenaamde foutfunctie (error function), genoteerd als

y = erf(x) = integraal van -oneindig tot x van exp(-x^2) 

Daar komen we natuurlijk niet veel verder mee als we die functie willen evalueren voor een welbepaalde waarde van x. Wanneer we bijvoorbeeld de primitieve van x^x zouden willen definiëren als P(x), dan zitten we met hetzelfde probleem.

Vaak is het bepalen van de primitieve echter niet het doel op zich, maar is dat een stap in het berekenen van een integraal.  We hebben bijvoorbeeld de vraag gekregen om de integraal 

integraal van 0 tot 1 van x^x dx

te berekenen. Een manier (en eigenlijk de belangrijkste manier die in het secundair onderwijs aangeleerd wordt) is om eerst de primitieve te berekenen, en die primitieve dan te evalueren in de punten 0 en 1. Er zijn ook nog andere maniereren, die niet vereisen dat we de primitieve kennen, maar die de waarde van de integraal benaderen door rechtstreeks de oppervlakte onder de curve uit te rekenen.  Je kan bijvoorbeeld de functie x^x evalueren in heel veel punten tussen 0 en 1, en dan de oppervlakte onder de curve benaderen door de som van de oppervlaktes van een heleboel rechthoekjes, of trapezia.  Dat is veel werk voor een mens, maar die manier van werken is uitermate geschikt voor een computer.   

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen