Hoe bepaal ik de hoek van een lichaamsdiagonaal van een balk met het verlengde van een van de ribben buiten de balk?

Robby, 36 jaar
6 september 2019

Antwoord

Beste Robby,

De eenvoudigste manier om hiervoor de formule op te stellen is via analytische meetkunde. Daarvoor moet je de inproductregel (https://nl.wikipedia.org/wiki/Inwendig_product) gebruiken. De inproductregel zegt dat de cosinus van een hoek bepaald wordt door het inproduct tussen twee punten gelegen op de hoekbenen gedeeld door het product van de afstanden t.o.v. het hoekpunt van deze punten. Het inproduct wordt berekend als matrixproduct (https://nl.wikipedia.org/wiki/Matrixvermenigvuldiging) tussen de twee coördinaten van de respectievelijke punten.

In het schema vind je ook de parametervergelijking van de respectievelijke rechten die de hoekbenen uitmaken. Je hebt in de berekening de richtingsvectoren nodig die bij de parameter staan.

De oplossing is de inverse cosinus van de lengte van de balk gedeeld door de wortel uit de som van de kwadraten van de lengte, hoogte en breedte van de balk. Als je aandachtig naar de formule kijkt zie je dat de cosinusregel verschijnt in een rechthoekige driehoek. Misschien kan de formule ook via goniometrie gevonden worden?

Inderdaad, beschouw de rechthoekige driehoek met hoekpunten BDE. Merk op dat het een echte driehoek is want die drie punten zijn coplanair en liggen in een vlak. Echter die driehoek heeft een rechte hoek in haar hoekpunt D. De cosinusregel van rechthoekige driehoeken leert ons dat de cosinus van een niet-rechte hoek uit de driehoek gelijk is aan de lengte van de aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde. We vinden dus dat de cosinus van de aangeduide hoek in het schema gelijk is aan de lengte van de aanliggende zijde (afstand BD) gedeeld door de lengte van de schuine zijde in de driehoek (afstand BE) wat dezelfde oplossing oplevert door klassieke goniometrie toe te passen.

Vriendelijke groeten,

Kurt

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen