Wat is het verschil tussen Laplace en Fourier transformaties?

Rafik, 18 jaar
3 september 2019

Beste, Ik heb ze afzonderlijk gestudeerd, dus ik weet dat laplace integraal van 0 tot oneindig is, en Fourier integraal van min oneindig tot oneindig. Maar voor de rest kan ik niet echt een verschil noemen. Alvast bedankt voor uw hulp.

Antwoord

Beste Rafik,

De Fourier- en Laplacetransformaties zijn inderdaad heel gelijkaardig. De Laplacetransformatie is iets algemener dan de Fouriertransformatie. Typisch wordt de Laplacetransformatie bepaald op het domein van positieve reële getallen, hoewel je ook de bilineaire Laplacetransformatie kan definiëren op de volledige reële as. Dus dat is niet het verschil dat we moeten zoeken.

De Laplacetransformatie is een afbeelding van de reële ruimte naar een deel van de complexe ruimte. Het is een afbeelding op een rechterhalfvlak van het complexe vlak. De Laplace-integraal zal convergent zijn (i.e. bestaan) voor complexe waarden s wiens reëel deel groter is dan een zeker reëel getal a. We heten dat getal a de convergentieabscis. Indien het getal a negatief is, dan bestaat de Fouriertransformatie ook. Inderdaad want de Fouriertransformatie is eigenlijk niets meer dan de Laplacetransformatie die je evalueert op de imaginaire as. Bijgevolg moet die imaginaire as zich bevinden in het convergentiegebied.

Wanneer gebruiken we in de toegepaste wiskunde de Laplacetransformatie en wanneer de Fouriertransformatie?

De Laplacetransformatie wordt gebruikt om dynamische systemen te bestuderen zoals stelsels van gewone differentiaalvergelijkingen maar ook enkele partiële differentiaalvergelijkingen. De Laplacetransformatie zorgt er immers voor dat een gewone differentiaalvergelijking omgevormd wordt tot een gewone complex-waardige vergelijking. Op die manier ontstaan rationale vormen of een deling van twee complex waardige veeltermen. Aan de hand van de configuratie van de polen en de nullen van deze rationale vorm, kunnen we het gedrag van het dynamisch systeem bestuderen. Dit is een techniek die gebruikt wordt in vele toepassingen zoals elektromagnetismen, mechanica, econometrie, financiële wiskunde,...

In principe kan men het vorige ook doen met de Fouriertransformatie alleen liggen de polen en de nullen zo goed als nooit op die imaginaire as waardoor dit minder interessant wordt. De Fouriertransformatie is interessanter indien men de oplossing van het dynamische systeem wil benaderen als functie van elementaire functies. De elementaire functies die de Fouriertransformatie gebruikt zijn cosinussen en sinussen. Onder enkele voorwaarden vormen deze cosinussen en sinussen een (Schauder)basis van de zogenaamde L2-functieruimte wat alle functies voorstelt wiens kwadraat een eindige integraal of oppervlakte heeft. Deze functies die zogenaamd kwadratisch integreerbaar zijn, kan je willekeurig goed benaderen door een lineaire combinatie van steeds sneller wordende cosinussen en sinussen. De gewichten van de lineaire combinatie kan je berekenen aan de hand van de Fouriertransformatie.

Een transformatie die verder ook van de familie Fourier-/Laplacetransformatie is, is de z-transformatie: aangezien je van een uitdaging houdt, daag ik je uit om uit te zoeken waarvoor deze gebruikt wordt en waar deze verschilt van de Laplace-/Fouriertransformatie. Deze z-transformatie is heel belangrijk in digitale analyse zoals onze digitale televisie, mobiele communicatie enzovoort ...

Inderdaad, de Fourier- en Laplacetransformaties zijn niet de enige transformaties voor handen die toestaan om functies te benaderen of er inzicht over te verwerven. Deze analyse werkt alleen goed voor wat we stationaire dynamische systemen noemen. Systemen wiens eigenschappen veranderen over de tijd, kunnen moeilijk aan de hand van Fourier-/Laplacetransformaties worden beschreven. Tijdsvariërende systemen worden typisch bestudeerd met wavelettransformaties die een andere basis dan cosinussen en sinussen gebruiken.

Verder werkt de Laplace-/Fouriertransformatie op stationaire systemen die zogenaamd exponentieel dempend zijn. Sommige systemen zijn veel langzamer zoals polynomiaal dempende systemen. Hierbij zal men "fractionele" Laplace-/Fouriertransformaties gebruiken. Hierin wordt een totaal ander type afgeleide gebruikt die men de fractionele afgeleide of Riemann-Liouville differentiaal noemt. Ook eens de moeite waard om een kijkje te nemen naar dit type (hogere) wiskunde. 

Hoewel die aspecten snel high level worden, staan deze methoden heel dicht bij het wetenschappelijk onderzoek en de state of the art. De opleidingen in het hoger onderwijs waar deze technieken aan bod komen zijn vooral in de opleiding wiskunde maar ook onder meer in natuurkunde en ingenieurswetenschappen (i.h.b. elektrotechniek).

Veel plezier,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

  • 27/09/2019 - Rafik (vraagsteller)

    Beste meneer Barbé Ik wil u bedanken voor uw antwoord, ik zal zeker en vast veel wiskunde plezier hebben. Met vriendelijke groeten Rafik

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen