Hoe druk je de oppervlakte van een vierkant uit in de lijnen vanuit de hoeken van het vierkant tot een punt?

Eva , 16 jaar
24 juni 2019

Binnen een vierkant ABCD bevindt zich een punt p. De afstand van A tot p noemen we a, de afstand van B tot p noemen we b en de afstand van C tot p noemen we c. Druk de oppervlakte van het vierkant uit in a,b en c.

Antwoord

Beste Eva,

Deze kan je opstellen door de afstand P tot het lijnstuk AC, x te noemen, en de afstand P tot het lijnstuk CD, y te noemen.

Nu kan Pythagoras toegepast worden door de afstanden x en y op de tekening aan te brengen waar mogelijk. We vinden dan de relaties door de verschillende rechthoekige driehoeken die ontstaan:

c2=x2+y2

a2=x2+(z-y)2

b2=(z-x)2+(z-y)2

Je kan uit dit niet-lineair stelsel x en y als onbekenden elimineren opdat je dan de bikwadratische vergelijking krijgt:

2z4-2(b2+c2)z2+(a2-b2)2+(a2-c2)2=0

Als je deze oplost dan vind je de oplossing:

z2=1/2(b2+c2+((b2+c2)2-2(a2-b2)2-2(a2-c2)2)1/2)

Dat is de formule voor de oppervlakte van het vierkant uitgedukt in de lengtes van de gegeven lijnstukken. Ik testte de formule uit op twee voorbeelden wat de correcte oplossing opleverde. Je ziet aan de structuur van de formule dat er een grote gelijkenis wordt vertoond met de formule van Heron die de oppervlakte uitdrukt van een driehoek aan de hand van diens zijden.

Groeten,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

Prof. Dr. Kurt BarbĂ©

Wiskunde, Statistiek, kansrekening, wetenschappelijk rekenen

Vrije Universiteit Brussel
Pleinlaan 2 1050 Elsene
http://www.vub.ac.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen