Hoeveel oplossingen zijn er mogelijk van a + b + c + c = 19 als a, b, c en d ∈ ℕ?

Isabelle, 17 jaar
31 mei 2019

Antwoord

(ik ga er van uit dat je in je vraag bedoelt a+b+c+d=19 en niet a+b+c+c=19)

Dat is makkelijk te vinden als je de vraag wat concreter maakt. Neem daarvoor 19 gelijke knikkers en leg ze op een rij. We gaan aan die rij dan 3 scheidingen toevoegen zodat de rij in vier stukken opgedeeld wordt. Die 3 is dus eentje minder dan je aantal variabelen.  Ik geef een paar voorbeelden (K = knikker, S = scheiding):

K  K  K  K  S  K  K  S  K  K  K  K  K  K  K  K  K  S  K  K  K  K  

Tel nu de aantallen knikkers  in elk deel:  4  2  9  4   (dit staat dus voor a = 4, b = 2, c = 9 en d = 4, de som is 19)

K  K  K  S  S  K  K  K  K  K  K  K  K  K  K  K  S  K  K  K  K  K

Hier heb ik de eerste twee scheidingen bijeen gezet, dat betekent du dat b nul is:  a = 3, b = 0, c = 11 en d = 5,  de som is 19

Of, start eens met een scheiding, dan betekent dat dat  a = 0

Eigenlijk heb ik hier dus 22 vakjes waarvan er 19 voor de knikkers en 3 voor scheidingen bedoeld zjn.

Uw vraag is dus nu equivalent met de vraag: op hoeveel manieren kan ik 3 scheidingvakjes plaatsen in 22 vakjes. Wel dat is gewoon de combinatie 3 uit 22, en dat is dus   (22 * 21 * 20) / ( 3 * 2 * 1) = 1540

In het algemeen: als de som van n natuurlijke getallen gelijk is aan S, is het aantal oplossingen de combinatie  n-1  uit  S+n-1.  Je hebt dan immers  n-1  scheidingen nodig en dus S+n-1  vakjes om de S knikkers en die n-1 scheidingen te kunnen plaatsen.

Probeer eens met  a + b + c = 8, dat heeft dus de combinatie 2 uit 10 = 45. Die kan je ook makkelijk eens allemaal opschrijven, je vindt er dan inderdaad 45.

 

 

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen