Kan de vergelijking ( 3x²+ 3x +1)^(1/3) een oplossing hebben binnen de natuurlijke getallen?

filiep, 53 jaar
28 november 2018

Kan de 3e machtswortel van de vergelijking een oplossing hebben die een natuurlijk getal is?

Antwoord

Dag Filiep

Deze vraag staat al een tijdje open; misschien omdat het niet helemaal duidelijk is wat je precies bedoelt. Ik probeer te antwoorden op een paar mogelijke interpretaties. Er staat geen vergelijking dus wat wil je oplossen? Als je op zoek bent naar nulwaarden (oplossingen van de vergelijking (3x²+3x+1)1/3 = 0) dan ga je er geen vinden, want (3x²+3x+1)1/3 is strikt positief.

Misschien zoek je naar waarden van x waarvoor de uitdrukking (3x²+3x+1)1/3 een natuurlijk getal wordt? Dat kan voor eender welk natuurlijk getal n ≥ 1, dat komt immers neer op het oplossen van 3x²+3x+1 = n³ en dat is een kwadratische vergelijking in x met discriminant 12n³-3 en die is strikt positief voor alle natuurlijke getallen behalve 0. Je vindt op deze manier telkens twee x-waarden, één positief en één negatief, waarvoor de derdemachtswortel netjes een natuurlijk getal wordt.

De oplossingen voor x die je op deze manier vindt zullen in het algemeen geen natuurlijke (of gehele, of rationale) getallen zijn. Als je op zoek bent naar natuurlijke getallen x waarvoor ook die derdemachtswortel een natuurlijk getal wordt; dan heb je bijvoorbeeld dat voor x = 0 de uitdrukking (3x²+3x+1)1/3 gelijk wordt aan 1. Als x ook geheel mag zijn, vind je dezelfde waarde voor de derdemachtswortel als x = -1.

Met vriendelijke groeten
Tom Dorissen

Reacties op dit antwoord

  • 30/11/2018 - filiep (vraagsteller)

    beste tom, laat ik mijn vraag anders formuleren. deze kadert in een groter gegeven uit 2 delen bestaande. dit is het eerste: (ik schrijf zonder wiskundige symbolen) : voor alle x,y element van de verzameling natuurlijke getallen zonder 0 geldt: er bestaat geen x waarvoor geldt: 3x²+3x+1 = y³. is deze stelling juist en kan ze bewezen worden?

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2018
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen