Wat is de differentiaal- en integraalrekening?

Lila, 15 jaar
17 mei 2018

Antwoord

Beste Lila,

Een antwoord op deze vraag bekijkt de drie onderdelen: Calculus of de rekening, differentiaal en integraal.

De term calculus refereert typisch naar de studie van verandering waarbij deze verandering zich op een continue wijze manifesteert. Persoonlijk zie ik het eerder een tak van de wiskunde waar vooral de ongelijkheid centraal staat waarbij je interesse hebt in groter/kleiner wat men afschatting heet. Dit onderscheidt zich wat van de algebra waar vooral de gelijkheid centraal staat.

De differentiaal en integraal maakt dan precies wat voor veranderingen je wenst te bestuderen.

In de differentiaalrekening ben je vooral geïnteresseerd in de "snelheid" van die veranderingen. Bijvoorbeeld als je een functie hebt, dan is deze functie soms steiler terwijl in andere punten van haar domein vlakker. Dit stijgen en dalen maar ook de wijze of snelheid waarop dit stijgen en dalen plaatsvindt wordt door de differentiaal aangegeven. De differentiaal van de differentiaal of de zogenaamde tweede orde afgeleide levert een maat van het bol of hol zijn van de functie en opnieuw hoe dit bol/hol gedrag kan veranderen. Op die manier speelt de differentiaal een belangrijke rol in de natuurkunde omdat het toelaat om veranderingen te "meten". Je kan de differentiaal gebruiken om veranderingen in snelheid, vesnelling, energie, impuls, ... te begrijpen. De differentiaalrekening gaat op haar beurt nog verder, het bestudeert ook de eigenschappen van de rekenregels van het "differentiëren" zodat de differentiaal een zogenaamde operator wordt. Dit laatste opent de deur voor een nieuwe calculus binnen de wiskunde die men meestal de functionaalanalyse heet. Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_calculus

In de integraalrekening ben je geïnteresseerd in het meten van de grootte van continue objecten in een zekere zin. Je hebt een functie en je wenst hiervan te berekenen hoe groot de oppervlakte onder de functie is. Dat idee kan je uitbreiden tot het meten van moeilijkere "objecten". Zo kan je ook de inhoud berekenen bepaald door de omwenteling van een functie rond een as bijvoorbeeld maar ook de lengte meten van een functie. Dit laatste is een belangrijk vraagstuk om de meest efficiënte weg te bepalen voor vliegtuigen. Je wilt een vliegtuigroute bepalen tussen twee steden maar aangezien de aarde een bol is, is de kortste afstand niet zomaar de rechte tussen de twee steden. Om dat kortste pad te bepalen heb je een integraal nodig. De integraalrekening op zich opent de deur naar de studie van de "integraal"  en haar eigenschappen wat men in de wiskunde het gebied van de maattheorie heet.

Deze tak vormt de fundamentele basis van wat men in de wiskunde Analyse heet met heel veel deelgebieden waarvan ik er reeds enkele vermeldde: maattheorie en functionaalanalyse maar verder heb je ook complexe analyse, topologie, categorietheorie. Wanneer meetkunde en de differentiaalrekening samengebracht worden, spreekt men over differentiaalmeetkunde. Deze verschillende gebieden bestuderen elk andere aspecten die altijd verband houden met "verandering" in een zekere zin. Echter in elk van die gebieden wordt afgesproken welk aspect van of wat men begrijpt onder "verandering".

Het kernantwoord om te onthouden in je vraag is: wiskundige studie van het begrip "verandering".

Veel plezier,

Kurt.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2018
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen