Bestaat er een oneven perfect getal?

Mohamed, 15 jaar
29 maart 2018

Antwoord

Beste Mohamed,

Dat is een zeer goede vraag! Tot op heden weten we ook het antwoord op deze vraag niet. Het is wat men in de wiskunde een "open probleem" noemt, een vraag waar nog geen antwoord (met bewijs) op gevonden is.

Voor de andere lezers even herhalen dat een perfect getal een natuurlijk getal is dat gelijk is aan de som van zijn delers die verschillend zijn van het getal zelf. Het kleinste perfect getal is 6 = 1+2+3. Het volgende prefect getal is 28 = 1+2+4+7+14. Daarna komen 496, 8128 ... Euclides vond een formule die even perfecte getallen oplevert: telkens je een priemgetal q vindt dat gelijk is een 2p-1 met p priem (zo'n priemgetal heet een Mersenne priemgetal), dan is q(q+1)/2 een (noodzakelijk even) perfect getal. Later bewees de grote wiskundige Euler dat elk even perfect getal van die vorm moet zijn. De eerste 4 Mersenne priemgetallen zijn 3, 7, 31 en 127. Deze corresponderen inderdaad met de eerste 4 perfecte getallen: 6 = 3(3+1)/2, 28 = 7(7+1)/2, 496 = 31(31+1)/2 en 8128 = 127(127+1)/2.

Of er een oneven perfect getal bestaat, is niet geweten. Tot nu toe is er nog geen oneven perfect getal gevonden en er is ook geen bewijs dat ze niet bestaan. Er is wel al veel wiskundig onderzoek gebeurd rond dit vraagstuk. Dit levert vele eigenschappen op waaraan een (hypothetisch) oneven perfect getal zou moeten voldoen. Zo weten we onder andere dat een oneven perfect getal zeker groter moet zijn dan 101500. Dit betekent dat je met een gewone computer niet zomaar een oneven perfect priemgetal zal vinden door alle getallen af te lopen en te testen. Verder is ook bewezen dat een (hypothetisch) oneven perfect getal minstens 101 priemfactoren moet hebben, waaronder minstens 10 verschillend. De grootste priemfactor moet groter zijn dan 108. Ook moet een (hypothetisch) oneven perfect getal N voldoen aan een van volgende congruenties N ≡ 1 (mod 12), N ≡ 117 (mod 468) of N ≡ 81 (mod 324).

Je hebt hier dus een van de uitdagingen binnen de hedendaagse wiskunde aangeduid! Hartelijk bedankt voor deze interessante vraag en mijn excuses dat de wiskunde jou voorlopig het antwoord schuldig moet blijven.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2018
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen