Hoeveel combinaties zijn mogelijk met cijfers 0 t.e.m. 9 wanneer de volgorde onbelangrijk is en elk cijfer slechts 1x mag voorkomen?

luc, 45 jaar
26 november 2017

Een cijferslot met toetsen 0>9 waarbij de volgorde van de ingedrukte toetsen geen rol speel maar elk cijfer maar 1x mag voorkomen. Wanneer we 1 cijfer gebruiken hebben we 10 mogelijkheden, gebruiken we alle cijfers dan hebben we slechts 1 mogelijkheid, doch welk aantal cijfers gebruiken geeft de meeste combinaties (en dus de beste garantie om niet snel gevonden te worden)...

Antwoord

Dat wordt bepaald door het begrip combinatie aangezien de volgorde van de selectie geen rol speelt. Een combinatie p uit n is het aantal manieren waarop je een deelgroep van p elementen uit een maximaal aantal  n elementen kan kiezen. Bijvoorbeeld, op hoeveel manieren kan je uit een groep van 20 personenen (met namen A, B, C, ... T) een afvaardiging van 3 kiezen, zonder die drie ondelrling in volgorde te zetten?

De eerste afgevaardigde kan uit 20 gekozen worden, de tweede nog uit 19 en de derde nog uit 18. Dat geeft 20.19.18 = 6840 mogelijke selecties. Maar zo heb je ze eigenlijk in volgorde geteld want de selecties AHL, of HAL, of LHA... zitten er nu apart in. Om die volgordes er weer uit te halen moet je delen door het aantal manieren waarop je 3 personen in volgorde kan zetten en dat is 3.2.1 = 3! = 6

Het werkelijk aantal deelgroepen, de combinatie 3 uit 20 is daarom  C(20,3 ) = 20.19.18 / 3.2.1 = 1140  en dat kan je schrijven als  20! / ( 17! 3!)

In het algemeen :  C(n,p)  =  n! / [ (n-p)! p! ]

Nu naar uw probleem. Daar vraag je in feite welke combinatie uit  n  het grootst is. Welnu, als n even is, is dat is bij  p = n/2.

Concreet voor n = 10, berekend met bovenstaande algemene formule:

C(10,0) = C(10,10) = 1

C(10,1) = C(10,9) = 10

C(10,2) = C(10,8) = 45

C(10,3) = C(10,7) = 120

C(10,4) = C(10,6) = 210

C(10,5) = 252

Als n oneven is vind je de grootste combinaties bij  p = (n-1)/2 en p = (n+1)/2, die zijn dan namelijk gelijk.

Vb

C(5,0) = C(5,5) = 1

C(5,1) = C(5,4) = 5

C(5,2) = C(5,3) = 10

 

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2017
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen