Mijn zoon van zeven wil graag delen door oneindig. Ik meen me te herinneren dat dit

Antwoord

Beste Fabienne,

Op het eerste zicht zou je denken. Waarom niet?
Als je een willekeurig getal deelt door "een getal dat elk ander in grootte overtreft" - want zo kun je het begrip oneindig min of meer omschrijven - verwacht je dat het passende antwoord steeds 0 moet zijn. En toch maakt je vraag mij ook benieuwd.

Ik heb voor alle zekerheid (hoewel ... ) een en ander eens uitgeprobeerd met Mathematica™, een krachtig wiskundepakket op PC.

Als je bvb. 1000000 deelt door oneindig krijg je inderdaad het antwoord nul van het programma.

Zolang je zuiver numeriek werkt is er op zich geen probleem, maar als je even overweegt wat dan wel het antwoord moet zijn op oneindig gedeeld door oneindig, snap je al meteen waar het fout kan lopen. Dit quotiënt is inderdaad onbepaald, en daar zit 'm al een eerste reden waarom je niet zomaar door oneindig kunt delen. Vooral als je algebraïsch gaat werken kan deze uitzondering heel vervelend om de hoek komen kijken.

Delen we de veranderlijke x namelijk door oneindig, dan kun je de correcte uitkomst van deze bewerking al niet meer voorspelllen. Ik was dan ook onaangenaam verrast vast te stellen dat Mathematica™ in dit geval toch nul als antwoord geeft. Ik ben het eerlijk gezegd niet eens met dit gevaarlijke antwoord. Want hoe kan het programma me achteraf ooit nog het vorige antwoord "onbepaald" geven als ik x achteraf vervang (substitueer) door oneindig?

Onvermijdelijk denkt iemand met wat ervaring in wiskunde dan aan een volgende toepassing: limietberekeningen! Een mooie functie om de problemen die zich kunnen voordoen met delingen door nul en/of oneindig te illustreren is bvb. de functie (4 - 4*x + x^2)/(-6 + x + x^2).

Een grafiek van deze functie ziet er gewoontjes uit. Toch is er een probleem:
voor x gaande naar 2 worden zowel de veelterm in de teller als deze in de noemer van de functie nul, en dan wordt de functie eigenlijk 0/0. Deze deling is al even problematisch als oneindig gedeeld door oneindig. Eigenlijk zit er op deze plaats een "gat" in de grafiek van de functie. In de praktijk berekent het plot commando de functie natuurlijk slechts voor een beperkt aantal waarden van x, en daardoor "springt" de rekenomgeving over de discontinuïteit heen.
In de wiskunde wordt zo'n functie een ophefbare discontinuïteit genoemd.
In dit speciale geval kun je het "gat" namelijk netjes opvullen met de limiet van de functie voor x gaande naar 2.

Hogervermeld probleem steekt alvast de kop op als je wil weten waar de functie naartoe gaat voor zeer grote x waarden: voor x gaande naar oneindig worden zowel de veelterm in de teller als deze in de noemer van de functie oneindig,en dan zitten we in eerste instantie weer met de onbepaaldheid. Ditmaal levert ook de limiet van de functie voor x gaande naar oneindig een eindig antwoord op. Wiskundigen hebben een arsenaal aan technieken ter beschikking om dit soort limietwaarden te gaan bepalen, en enkele ervan zijn ook voorzien in Mathematica™, waaronder deze voor polynomiale breuken. In dit geval vinden we een limietwaarde 1.

Het probleem met oneindig is dat er blijkbaar toch ergens een soort "pikorde van oneindigheden" nodig is om correct te kunnen rekenen. De ene functie gaat al sneller naar oneindig dan de andere, en als je de ene deelt door de andere dan wel vice versa kom je in het ene geval op nul uit, in het andere geval op oneindig!

Last, but not least, nog het gevaarlijkst van al: afhankelijk van het toepassingdomein gebruiken wiskundigen zelfs verschillende versies van het begrip oneindig.
Bij het rekenen met reële getallen maken we onderscheid tussen min oneindig en plus oneindig,
wie rekent met complexe getallen houdt er eigenlijk slechts één oneindig meer op na.

Mathematica™  heeft daarvoor het afzonderlijke getal ComplexInfinity voorzien.

In de geometrie verkiezen wiskundigen dan weer gebruik te maken van een oneindig aantal verschillende georiënteerde oneindigheden ("oneindig ver in een bepaalde richting"). Mathematica™  heeft daarvoor het afzonderlijke getal DirectedInfinity voorzien.

Daarom moet je dus wel degelijk voorzichtig zijn met "delen door oneindig" ...