Ik las in een boek dat de kans dat je volgende adem minstens 1 molecule van Julius Caesar's laatste adem bevat 99% is. Is dit correct ?

Pascal, 43 jaar
15 augustus 2017

Boek : "No time like the present", Jack Kornfield (p.242). Zelfs in de veronderstelling dat luchtmoleculen sinds die tijd onveranderlijk zijn gebleven, lijkt me dit onwaarschijnlijk. Zo mogelijk graag staven/weerleggen met berekeningswijze.

Antwoord

Beste Pascal,

Het boek dat je vermeldt ken ik niet, maar het voorbeeld is welbekend. Dit is namelijk een standaard voorbeeld van wat met in het Engels een 'back of the envelope' berekening noemt: een schatting die op de achterkant van een envelop of een bierviltje past. Fysicus Enrico Fermi was kampioen in dit soort berekeningen, waarbij de nadruk ligt op het schatten van grootteordes op basis van een klein aantal gegevens of aannames; ze worden ook Fermi-vraagstukken genoemd.

 

Dit zijn mogelijke aannames:

- Laten we aannemen dat de laatste ademtocht van Julius Caesar een volume had van 1 liter.(noot 1) En laten we aannemen dat jouw volgende adem ook 1 liter lucht bevat.

- Aangezien het lang geleden is dat Julius Caesar zijn laatste lucht uitademde (44 v.Chr.), kunnen we aannemen dat de moleculen (door de invloed van weer en wind) volledig gemengd zijn geraakt met de andere moleculen van de atmosfeer. Daarbij nemen we voor het gemak inderdaad even aan dat de luchtmoleculen al die tijd onveranderd zijn gebleven.(noot 2)

Noem X het aantal moleculen in een ademhaling en Y het totaal aantal moleculen in de atmosfeer.

Door de aannames kan je jouw volgende adem zien als een willekeurige trekking van X moleculen uit alle Y moleculen van de atmosfeer, waartussen er X 'Caesar moleculen' zitten.

 

Eerst gaan we schattingen maken voor X en Y: hoe meer basiskennis je hebt, hoe gemakkelijker dit is (maar je kan ontbrekende gegevens natuurlijk ook op Wikipedia opzoeken):(noot 3)

X=?

Bij standaard druk en temperatuur komt een volume van circa 22 liter stikstofgas overeen met 1 mol. 1 liter is dus (1/22) mol. We kunnen dan het getal van Avogadro (6,02×10²³) gebruiken om het aantal moleculen te bepalen. Het zijn er: 6×10²³/22. Aangezien we dit zonder rekenmachine willen doen, kijken we enkel naar de grootteorde van het resultaat: een liter lucht bevat circa 1022 moleculen. Dus de grootteorde van X is een 1 met 22 nullen achter, een gigantisch aantal dus; moleculen zijn nu eenmaal erg klein!

Y=?

Eerst bepalen we het totale volume van de atmosfeer. Aannemend dat de Aarde rond is, is het oppervlak van de Aarde 4πR², waarbij R de aardstraal is of ongeveer 6 400 km. Het oppervlak is dan ongeveer 4*3*41 1012 m². 99% van de moleculen in de atmosfeer bevinden zich onder 15 km hoogte. Dus het volume van de atmosfeer is circa: 4*3*41*15 1015 m³, of afgerond 1019 m³. En omgerekend naar liter: 1022 l. Volgens een soortgelijke berekening als voor X correspondeert Y dus met 1022*6×10²³/22 moleculen, of afgerond 1044 moleculen.

 

Nu we X en Y kennen, kunnen we de gevraagde kans, dat er bij je volgende ademhaling minstens één molecule uit de laatste adem van Caesar zit, bepalen:

De kans?

Voor elke molecule die je inademt, is de kans op een 'Caesar molecule' X/Y = 1022/1044 = 1/1022, een heel kleine kans, maar je ademt er wel 1022 van in...

Het is gemakkelijker om eerst te berekenen wat de kans is dat je geen enkele 'Caesar molecule' inademt.

Voor de eerste molecule die je zal inademen geldt dat de kans dat het geen 'Caesar molecule' is gelijk is aan 1 - 1/1022; dat is ook zo voor de tweede molecule, de derde, ... en de 1022ste. De kans dat ze allemaal geen 'Caesar molecule' zijn, is het product: (1 - 1/1022)*(1 - 1/1022)*(1 - 1/1022)*...*(1 - 1/1022) = (1 - 1/1022)^1022. Om dit uit te rekenen, zonder rekenmachine (een gewone rekenmachine zal er trouwens niet mee om kunnen!), gebruiken we eerst een benadering: e^(- 1/1022) is ongeveer gelijk aan 1 - 1/1022. We krijgen zo voor de kans om geen 'Caesar molecule' in te ademen: (e^(- 1/1022))^1022 = e^-(1022/1022) = e^(-1) = 1/e, wat ongeveer gelijk is aan 0,37 of 37%.

De kans om wel minstens één 'Caesar molecule' in te ademen bij de eerstvolgende ademhaling is dan ongeveer 100% - 37% = 63%.

Dat is wel duidelijk lager dan 99%, maar merk op dat onderweg vrijwel alle getallen afgerond werden, terwijl de laatste berekening zeer sterk afhangt van de waarde van X en de verhouding tussen X en Y. Iets andere aannames leveren uiteraard ook een ander percentage op. Als we er bijvoorbeeld van uitgaan dat Caesars laatste ademteug slecht 0,4 liter bedroeg, terwijl jouw volgende ademhaling 2 liter zou zijn (5 keer groter volume dus), dan bekomen we als kans op geen 'Caesar molecule' 1/e5 (ipv 1/e) en dat geeft als eindresultaat op minstens één 'Caesar molecule' meer dan 99%.

Bovendien, en belangrijker volgens mij: ook 63% is verrassend hoog. De conclusie blijft dat je - op basis van bovenstaande aannames - dagelijks sowieso vele moleculen uit de laatste ademhaling van Julius Caesar in- en uitademt.

 

Vriendelijke groeten,
Prof. Sylvia

 

PS: Voor de hele uitleg en verantwoording heb je meer nodig dan één bierviltje, maar enkel de berekening past er wel op, hoor, als je klein genoeg schrijft. ;-)

 

Eindnoten

(noot 1): We kijken hier enkel naar het volume van de "droge gassen" in lucht: vooral stikstof (N2), maar ook CO2 en andere gassen. Er zat uiteraard ook waterdamp bij, maar dat laten we even buiten beschouwing.

(noot 2): Deze aanname klopt zeker niet volledig: een deel van de moleculen uit te lucht wordt geabsorbeerd, onder andere door planten, dieren en het water. Hierover schreef ik de column "Ademtocht". Maar voor de huidige vraag is het belangrijk om op te merken dat een aanzienlijk deel van de luchtmoleculen wel in de atmosfeer blijft, of er na tijdelijke absorptie weer in terecht komt. De grootteorde blijft dan op het eerste zicht toch juist.

Bij nader inzien ligt het echter complexer. Onder invloed van UV, gamma-straling, biologische processen, ... kunnen N2 en CO2 moleculen uiteenvallen en weer gevormd worden, maar zelfs als er netto niets gebeurd is, zijn het typisch niet dezelfde atoomkernen die gecombineerd worden tot een nieuw molecule. Ik heb hier geen extra gegevens voor opgezocht en kan dus niet meteen een schatting geven. Als het aandeel van nieuw samengestelde moleculen na meer dan tweeduizend jaar inderdaad groot is, dan zouden we kunnen ontkennen dat de kans om minstens één 'Caesar molecule' in te ademen groot is, maar dan zouden we de claim met betrekking tot atoomkernen kunnen maken en die kans zou zelfs nog iets groter zijn (omdat je bv. bij elk ingeademd N2 molecule dan tot dubbel zoveel kans hebt op minstens één 'Caesar kern').

(noot 3): Een fysicus begint het liefst met zo weinig mogelijk constanten. Kijk op deze pagina voor een Engelstalige berekening die start van de massa van een proton.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2017
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen