Zijn afgeleiden steeds rico's (raaklijnen, rechten)?

Jo, 60 jaar
6 juni 2017

De afgeleide van bv: 5x³-2y²+14 is 15x²-4y. Dit is nog steeds een kwadratische functie dus geen rechte en ook geen raakLIJN. Toch wordt er ons verteld dat afgeleiden raakLIJNEN zijn. Hoe zit dat ?

Antwoord

Beste Jo, 

Ik vrees dat er enige verwarring is geslopen in je betoog. 

De functie  5x³-2y²+14 die je voorstelt ter illlustratie van je probleem kan op meerdere wijzen geanalyseerd worden. 

Enerzijds kun je de algebraïsche uitdrukking interpreteren als de beschijving van een bivariate functie z = 5x³-2y²+14, waarin z de afhankelijke veranderlijke en x & y de 2 onafhankelijke veranderlijken voorstellen. 

Dankzij de sterkte van het denkbeeld achter de zogenaamde Cartesiaanse mapping kun je deze functie ook bekijken als de beschrijving van een driedimensionaal oppervlak dat aan dit functievoorschrift beantwoordt. Dit geeft dan aanleiding tot een driedimensionale grafiek (voor alle duidelijkheid: op dit 2D scherm noodzakelijkerwijs in projectie voorgesteld): 

Zelfs in deze 3D context kunnen afgeleiden van de functie f[x, y] nog steeds geïnterpreteerd worden als richtingscoëfficiënten van raaklijnen, maar ook hier zie je vermoedelijk iets over het hoofd. Voor niet-lineaire functies is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een bepaald punt inderdaad nog steeds een functie van de beschouwde onafhankelijke veranderlijke zelf!
In elk punt {x,y} van de functie f[x, y] heeft de RiCo van de raaklijn inderdaad een andere waarde. In de 3D context komt daar nog eens bij dat je ook de richting van de beschouwde raaklijn moet aangeven: je leidt de functie af ofwel naar de ene onafhankelijke veranderlijke x om het verloop van de richtingscoëfficient in de x richting te verkrijgen, ofwel naar de andere onafhankelijke veranderlijke y om het verloop van de richtingscoëfficient in de y richting te verkrijgen. 

De partiële afgeleide van de voorgestelde functie in x wordt zo: 

Het verloop van de RiCo van de raaklijnen in de x richting beantwoordt dan aan de grafiek: 

De partiële afgeleide van de voorgestelde functie in y wordt echter: 

Het verloop van de RiCo van de raaklijnen in de y richting beantwoordt dus aan de grafiek: 

En deze is al evenmin constant! 

In de vectoranalyse wordt het koppel van beide functies ook wel als de gradiënt van de bivariate functie geduid. 

Het bevreemdt me trouwens hoe je aan functie die je als afgeleide voorstelt bent gekomen. Je verkrijgt deze namelijk pas als je beide componenten van de gradient bij elkaar optelt: 

Dit is natuurlijk ook een functie, maar ze beantwoordt niet aan de beoogde eigenschap! 
In de vectoranalyse (en bij toepassing ervan in de fysica) heeft meer bepaald de norm van de gradiënt (de vierkantswortel uit de som van de kwadraten van de componenten) ook een betekenis. 

Een 3D plot van het oppervlak samen met beide raaklijnen in het punt {-4,-20} zou een en ander moeten visualiseren: 

 

Er zijn nog geheel andere interpretaties mogelijk van de functie die u voorstelde. De nulpunten van de functie f[x,y], beantwoordend aan de vergelijking f[x,y]=0 kunnen ook gezien worden als impliciete functievoorschrift(en) voor univariate functies y=g[x]. De vergelijking dient dan opgelost worden naar y voor expliciete versies van die functievoorschriften:  

Vervolgens kunnen dan opnieuw de afgeleiden van deze univariate functies beschouwd worden. Dit geeft aanleiding tot alweer andere functies!
Misschien speelde die mogelijkheid ook een rol in uw verwarring? 

Voor de volledigheid: conventioneel wordt x als onafhankelijke veranderlijke genoteerd, maar dit is geen absolute noodzaak.
Voor bepaalde problemen moet de rol van x & y nog eens worden omgekeerd ook ... 

 

Philippe J. Roussel

Senior Reliability Research Engineer

imec 

Reacties op dit antwoord

  • 15/06/2017 - Jo(vraagsteller)

    Geachte heer Roussel. Met dank voor de verhelderende uitleg. Hier kan ik alvast mee verder.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2016
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen