Wat zit er achter dat je als je wilt weten of een getal deelbaar is door 3, zomaar de getallen optelt?

Cezanne , 12 jaar
2 mei 2017

Dus als je een getal neemt, kan je zien of het deelbaar is door 3. Ja, ik weet dat je dan telkens de getallen moet optellen. Maar wat zit hierachter? Hoe komt deze stelling tot stand?

Antwoord

Beste Cezanne,

Ik zal het je laten zien met een voorbeeld. Dit is niet genoeg voor een wiskundige, die een algemeen bewijs zal willen, maar wel genoeg om je het idee achter de regel uit te leggen.

Stel bijvoorbeeld dat je wil weten of 2842 deelbaar is door 3.

Het regeltje zegt tel de cijfers op: 2+8+4+2 = 16. Tel de cijfers nogmaals op: 1+6 = 7, wat niet deelbaar is door 3. Daaruit concludeer je dat 2842 ook niet deelbaar is door 3. En jij vraagt nu waarom dit zo is.

Om dat uit te leggen gaan we eerst 2842 herschrijven:

2842 = 2 x 1000 + 8 x 100 + 4 x 10 + 2 x 1.

Nu gaan we elk van de ronde getallen opsplitsen in een zo groot mogelijke term die deelbaar is door 3 en de rest. Daarom gaan we 1000 herschrijven als 999 + 1, 100 als 99 + 1 en 10 als 9 + 1. Daarbij is telkens de eerste term deelbaar door 3 en de andere is de rest (1).

Nu kunnen we de vorige som als volgt herschrijven (verdeeld over twee regels):

2842 = 2 x 999 + 8 x 99 + 4 x 9                     -> rest bij deling door 3 is nul
         + 2 x 1     + 8 x 1   + 4 x 1 + 2 x 1.       -> rest bij deling door 3 moet nog verder getest worden

We willen enkel weten wat de rest is bij deling door 3: de eerste 3 termen geven rest 0, dus moeten we enkel nog de laatste 4 termen testen.

Als we de laatste vier termen herschrijven, staat er: 2+8+4+2. Met andere woorden: de som van de cijfers testen volstaat om te weten of het hele getal deelbaar is door 3.

Neem er een nu een blaadje papier bij en probeer het zelf eens met een getal naar keuze. Probeer daarop deze redenering toe te passen en kijk of je jezelf ervan kan overtuigen dat deze uitleg altijd werkt.

Vriendelijke groeten,
Prof. Sylvia

Reacties op dit antwoord

  • 11/06/2017 - Cezanne (vraagsteller)

    Beste prof. Sylvia, Bedankt voor het antwoord! Nu begrijp ik het al beter. Met vriendelijke groeten, Cezanne De Mol

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2017
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen