Hoe maak ik unieke combinaties van 4 spelers uit een groep van 16 (zodat ze elkaar maar 1 keer tegenkomen)?

Arnold, 46 jaar
14 maart 2017

Voor een badmintonvereniging probeer ik een tournooischema voor de dubbels (2 tegen 2) samen te stellen. De wens is dat elke speler maar 1 keer met dezelfde drie spelers speelt. (1 medespeler en 2 tegenstanders) De vraag is nu hoeveel 'unieke' matches zijn er te maken als ik 16 spelers totaal heb. Bijvoorbeeld de eerste partij is 1+2 tegen 3+4. Dan mag 1 niet meer in welke vorm dan ook met 2, 3 of 4 voorkomen. Maar ook 2 niet meer met 3 en 4 en 3 niet meer met 4. Het aantal combinaties van 16 over 4 is 1820 maar er geld een extra criterium waardoor ik er wiskundig gezien niet helemaal uitkom. Zijn het combinaties, permutaties of variaties. Na veel en lang puzzelen denk ik dat er 16 partijen in totaal zijn. Dus voor elke speler betekent dat 4 'unieke' matches. Maar hoe kan ik dit bewijzen en hoe bereken ik dit voor bijvoorbeeld 20 of 24 spelers in totaal? Mijn oplossing is als foto bijgevoegd.

Antwoord

Beste Arnold,

 

Je verdeling is in feite niet optimaal. Je kan inderdaad 5 speeldagen hebben. Jouw probleempje heeft te maken met het volgende vraagje over speelkaarten: Neem de zestien kaarten die bestaan uit beelden + de azen. Leg die nu in een 4x4 rooster zodanig dat op elke rij en in elke kolom juist één koning, juist één koningin, juist één boer en juist één aas ligt, en in elke rij en elke kolom juist één schoppen, juist één klaver, juist één ruiten en juist één harten kaart ligt. Dit is niet zo makkelijk, maar na enig puzzelwerk lukt het je wel. Een voorbeeld is als volgt (H=koning of Heer, D=koningin of Dame, Z=boer of Zot, A=aas; s=schoppen, k=klaver, r=ruiten, h=herten)

Hr – Dk – Zs – Ah

Ds – Hh – Ar – Zk

Zh – As – Hk – Dr

Ak – Zr – Dh – Hs

 

Nummer nu de kaarten van 1 tot 16, dan vormen de rijen, de klommen, de soorten beeldjes, en de soorten symbolen vier verdelingen, maar er is een vijfde door op de eerste rij een willekeurige kaart te kiezen, die zit in dezelfde ploeg als de kaart in de tweede rij die een verschillend symbool heeft en een verschillende beeldje is, en niet in dezelfde kolom ligt. Op dezelfde manier neem je een kaart uit de derde en vierde rij. We zullen het eens doen. Ik nummer de kaarten

 

1 - 2 - 3 - 4

5 - 6 - 7 - 8

9 -10-11-12

13-14-15-16

 

Dus speeldag 1 (zelfde rijen): 1+2, 3+4 / 5+6, 7+8 / 9+10, 11+12 / 13+14, 15+16

Speeldag 2 (zelfde kolommen): 1+5, 9+13 / 2+6, 10+14 / 3+7, 11+15 / 4+8, 12+16

Speeldag 3 (zelfde beeldjes): 1+6, 11+16 (heren)/ 2+5, 12+15 (dames)/ 3+8, 9+14 (zot)/ 4+7, 10+13 (azen)

Speeldag 4 (zelfde symbolen): 1+7, 12+14 (ruiten)/ 2+8, 11+13 (klaver)/ 3+5, 10+16 (schoppen)/ 4+6, 9+15 (harten)

Speeldag 5 (alles verschillend): 1+8, 10+15 / 2+7, 9+16 / 3+6, 12+13 / 4+5, 11+14

 

(a+b, c+d betekent dat a en b spelen tegen c en d)

 

In elk groepje van vier kan je natuurlijk de medespelers en tegenstanders veranderen zoals je wil. In mijn voorbeeld spelen telkens alle mensen van 1 tot 8 met elkaar, en ook deze van 9 tot 16 spelen onderling met elkaar. Maar elke twee personen spelen samen juist één match!

 

Als er 20 mensen zijn is het moeilijker, omdat er zo geen mooie kaartverdeling meer te maken is. Wiskundig komt het neer op het feit dat er geen affien vlak bestaat met 20 punten en 4 punten per rechte. Hoe dan ook, als dit geval zich voordoet, dan moet jet het nog maar eens vragen en zal ik er eens mijn hoofd over breken. Maar 16 is het ideale getal om matchen met vier te spelen. Ook 64 zou ideaal geweest zijn trouwens, net als elke andere gehele macht van 4. 

 

Ik hoop dat dit je helpt! Veel badmintonvreugde!

 

Vriendelijke groeten,

– Hendrik Van Maldeghem

Reacties op dit antwoord

  • 22/03/2017 - Arnold(vraagsteller)

    Beste Hendrik, Veel dank voor uw reactie en uitleg op mijn vraag. Ik kon het goed volgen en begrijpen. De situatie doet zich nu voor dat mij gevraagd is de tournooi indeling te maken voor de clubkampioenschappen. Dit betekent dus een deelnemeraantal ongelijk aan een macht van 4 :( Nu ben ik wel een liefhebber van wiskunde en puzzelen dus mijn vraag is of u mij een aantal kernwoorden kunt noemen (zoals affien vlak in het antwoord) waarmee ik via google het e.e.a. zelf zou kunnen uitzoeken om tot de best mogelijke verdeling te komen voor bijvoorbeeld 28, 32 en 36 spelers. Maar ik zou u natuurlijk nog meer erkentelijk zijn wanneer u mij nogmaals helpt bij een uitwerking van het antwoord voor bijvoorbeeld 32 spelers. Met veel dank en vriendelijke groeten, Arnold

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2016
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen