Welke redeneerfout maak ik in mijn antwoord op deze wiskundige vraag?

filip, 50 jaar
31 oktober 2016

Het ingangsexamen geneeskunde van enkele jaren geleden bevatte o.m. de volgende vraag: in een wachtkamer staan zes stoelen in een cirkel. Er komen twee mannen en vier vrouwen binnen en die gaan zitten. Hoe groot is de kans dat er links en rechts van een man twee vrouwen gaan zitten? Men dient dit antwoord te berekenen, kansberekening waar ik geen kaas van gegeten heb. Ik dacht echter dat je er met logica ook kon raken: Als ik een van die mannen was, dan is de kans dat er hetzij links hetzij rechts van mij een vrouw komt zitten 100% want buiten mij is er slechts één man meer. En als er dan hetzij links hetzij rechts een vrouw komt zitten, dan blijven er nog drie vrouwen en een man over. Dus, zo dacht ik, de kans is dus drie op vier dat er aan de andere kant ook een vrouw komt zitten. En aangezien het ene dus vaststaand is (100%) en het andere 3/4, is dit laatste het antwoord. Zo dacht ik. Maar wiskundig blijkt dit niet juist, men komt blijkbaar tot twee op drie. Ik vraag mij al dagenlang af welke redeneringsfout ik maak.

Antwoord

Beste Filip,

 

Ik zal proberen haarfijn uitleggen. Maar eerst: twee op drie is ook niet juist, hoor, het moet 3 op 5 zijn, of 60%. Ik zal mij straks nader verklaren.

 

Bij kansberekening komt het er op aan om voor een gegeven situatie te kijken hoe veel keer die "gunstige" is, ten opzichte van het geheel aantal mogelijkheden. Met gunstig bedoel ik de soort situatie waarvoor je de kans wil berekenen. Een beetje exacter (maar opzettelijk nog niet helemaal exact) uitgedrukt: je zoekt het totaal aantal mogelijke situaties, stel dit gelijk aan het getal n, en je zoekt het aantal gunstige situaties, stel dit gelijk aan g, en dan deel je g door n en je hebt de kans. Dit lukt bijvoorbeeld perfect bij een dobbelsteen. Wat is de kans om met een gewone dobbelsteen een even getal te gooien? Er zijn 6 mogelijke situaties in het totaal (1 gooien, 2,3,4,5, of 6), en daarvan zijn er drie gunstige (2,4,6). Dus de kans is 3/6=1/2. Prachtig! Ander voorbeeld: we gooien met twee dobbelstenen. Wat is de kans om 2 te gooien? Zelfde senario: de mogelijkheden zijn 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, dus 11 mogelijkheden, en alleen 2 is gunstig, dus 1 kans op 11! Oei, maar dat klopt niet, want iedereen weet dat je 1 kans op 36 hebt om twee keer 1 te gooien. Waar zit de fout? Exact op dezelfde plaats waar jouw fout zit. Bij het tellen van het totaal aantal mogelijke situaties moeten we er voor zorgen dat deze situaties allemaal evenveel voorkomen, dat ze allemaal dezelfde rol kunnen spelen, dat ze allemaal even mogelijk zijn. In het geval van de dobbelstenen is dat niet waar: je kan 3 gooien op twee manieren: de eerste dobbelsteen 1 en de tweede 2, en omgekeerd. En om 4 te gooien zijn er al drie mogelijkheden: 1+3, 2+2, 3+1. 

 

Terug naar jouw probleem: Jij telt de situaties als volgt. je weet er zit zeker minstens één vrouw naast de man, dus heb je vier situaties: een vrouw en de man, een vrouw en één van de drie overgebleven vrouwen. Maar deze laatste situatie is eigenlijk een verzameling van 6 situaties, want die twee vrouwen die naast de man gaan zitten kan je kiezen uit 4, en dat kan op 6 manieren! Zie je, jij laat de eerste vrouw die naast de man komt zitten volledig vrij, het kan gelijk welke vrouw zijn, dat telt allemaal niet, maar bij de tweede maak je plots onderscheid tussen de drie overgeblevenen, die spelen wel een andere rol. Niet logisch! Je kan dan evengoed rederen: ofwel zitten er twee voruwen naast, ofwel een man en een vrouw dus 1 kans op 2 zijn het twee vrouwen. Daar zie je ook wel waarom dat fout is, niet?

 

Dus die twee vrouwen naast de man, dat zijn 6 even mogelijke situaties, en niet 4. De andere man en een vrouw naast de man, dat zijn vier even mogelijke situaties. Dus zes gunstige op 6+4=10 mogelijke, dat is 60%. Je kan het ook als volgt doen: vanuit het standpunt van de mannen zijn er 15 mogelijke plaatsingen (ik nummer de stoelen van 1 tot 6, en 6 is ook een buur van 1): 12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56. Deze zijn allemaal even mogelijk, want de vier overgebleven vrouwen kunnen telkens op evenveel manieren de overige stoelen bezetten, onafhankelijk van de mannen. Er zijn 9 gunstige gevallen, dus gevallen waarbij de twee mannen niet naast elkaar zitten: 13,14,15,24,25,26,35,36,46. Dus alweer 9/15 is 60%. Je kan er dus niet onderuit, het antwoord is 60%. 

Ik hoop dat je je fout nu ziet. Indien nog niet volledig overtuigd, ziehier een gelijkaardig probleempje, waar je het wellicht beter ziet. Wat is de kans dat je met drie geldstukken dezelfde uitkomst gooit? Die kans is natuurlijk 2 op 8, want er zijn 8 even mogelijk situaties, namelijk (k=kop,m=munt): kkk,kkm,kmk,kmm,mkk,mkm,mmk,mmm, waarbij een m of een k op de 1ste, 2de of 3de positie betekent dat het zoveelste geldstuk respectievelijk m of k toont. In de trant van uw oplossing zou je kunnen zeggen dat er zeker twee geldstukken dezelfde uitkomst moeten hebben (want er zijn maar twee mogelijk uitkomsten per geldstuk, en we gooien er drie). En voor die andere is er dan 1 kans op 2 dat die dezelfde uitkomst heeft. Dus 1/2. Fout! En je kan de fout nu beter zien: de situatie waarbij er twee dezelfden zijn en 1 andere komt 6 keer voor, deze waarbij er twee dezelfde zijn en de derde ook (dus drie dezelfden) komt maar 2 keer voor. Deze laatste situatie tel je drie keer, namelijk voor geldstuk 1 en 2 (want die zijn dezelfde), voor geldstuk 1 en 3 (ook dezelfde), en voor geldstuk 2 en 3. Dus als je zegt: minstens twee geldstukken geven al dezelfde uitkomst, dan is dat voor het vervolg niet altijd een even mogelijke situatie!  

 

Mocht je toch nog twijfels hebben, reageer gerust!

 

Vriendelijke groeten,

 

--Hendrik Van Maldeghem

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen