Hoe bereken je de afstand van de maan naar de aarde?

Steven, 35 jaar
12 juni 2015

Antwoord

De afstand tot de Maan op elk ogenblik 'berekenen' kan vanuit gepubliceerde efemeriden van de Maan, namelijk de periode waarmee ze rond de Aarde beweegt, de halve grote as van de ellipsbaan die ze beschrijft, de helling van die baan, de excentriciteit van die ellips, een moment wanneer ze op haar dichtste punt bij de Aarde staat, en hoeken die de richting naar dat punt bepalen.  Maar al die gegevens zijn natuurlijk niet zomaar in de boeken gekomen, en kunnen niet zomaar vanuit 'eerste beginselen' berekend worden.  Hetgeen in eerste instantie moet gebeuren, is 'meten' eerder dan 'berekenen'.  Dit antwoord is dus in eerste instantie een antwoord op de vraag 'hoe meten we de afstand tot de Maan?'.

Vandaag is dat antwoord heel eenvoudig.  Sinds het Apollo-project staan een aantal antennes en spiegels op de Maan die radio- en lasersignalen vanop de Aarde kunnen reflecteren.  We sturen dus een signaal, meten hoe lang het duurt vooraleer we een gereflecteerd signaal meten, vermenigvuldigen met de lichtsnelheid, en delen door twee.  Maar vooraleer die spiegels op de Maan stonden, moesten we er een ruimtetuig naartoe sturen, en daarvoor was het wel nuttig een idee te hebben over hoever de Maan precies staat.  Hoe wisten we dat?  En sinds wanneer?

Het antwoord op de laatste vraag is: sinds meer dan 2000 jaar.  De hellenistische sterrenkundige Hipparchus heeft een vrij nauwkeurige afstand tot de Maan bepaald; hij heeft zelfs uit verschillende metingen evenzeer terecht afgeleid dat de afstand tot de Maan verandert.  Het principe van de meting is gesteund op driehoeksmeting, het 'oplossen van driehoeken', en is hetzelfde als hetgeen landmeters traditioneel gebruikten om afstanden op het aardoppervlak te bepalen.  Men kijkt vanuit twee punten A en B naar een ver verwijderd object C (een hoge toren bij voorbeeld), en meet telkens nauwkeurig de hoeken CAB en CBA; vermits de som van de hoeken van een driehoek 180 graden is, kent men dan alle drie de hoeken van de driehoek.  Als men dan nauwkeurig de afstand AB meet, kan men de afstanden AC en BC berekenen. 

In het geval van de Maan, is deze dus de toren C.  Men kan dan twee punten kiezen op het aardoppervlak waartussen de afstand gekend is, en simultaan de hoeken CAB en CBA meten.  'Simultaan' is hier heel belangrijk, want de positie van de Maan verandert in de tijd.  Hipparchus kon natuurlijk niet op twee plaatsen tegelijk zijn, en telefoneren met iemand elders ging toen niet zo goed...  Ook waren de toestellen voor tijdsbepaling toendertijd niet zo nauwkeurig om metingen vanop twee plaatsen door verschillende waarnemers te synchroniseren.

Hoe pakte hij het dan aan?  Door zich te realiseren dat hij vanop zijn eiland tegelijk A en B kon zijn, door op verschillende momenten te meten!  Voor een waarnemer op het aardoppervlak beweegt de Maan rond het centrum van de Aarde, niet rond de waarnemer zelf.  Dat betekent dat de Maan aan de hemel een 'grote cirkel' (dus met centrum het centrum van de hemelsfeer, en dat is het centrum van de Aarde) beschrijft, maar voor een waarnemer die een eindje ver van dat centrum staat niet.  Vanuit het noordelijk halfrond zien we de Maan ten opzichte van de sterren altijd een beetje meer zuidelijk dan vanuit het middelpunt, en hoeveel meer zuidelijk dat is, verandert in de tijd.  Als de Maan exact boven ons zou staan, dan zitten wij tussen het middelpunt van de Aarde en de Maan, en zien wij de Maan in dezelfde richting als vanuit het middelpunt.  Maar als de Maan ondergaat, kijken we (in het noordelijk halfrond) vanuit een punt dat manifest hoger staat dan het middelpunt van de Aarde, en kijken we dus meer naar beneden dan indien we vanuit het middelpunt keken.  De baan van de Maan tussen de sterren die we zien schommelt dus wat ten opzichte van de baan vanuit het centrum.  Deze laatste beschrijft een grote cirkel op de hemelsfeer, de baan die we zien dus niet.  En die afwijking hangt af van hoe ver de Maan wel staat: hoe dichter de Maan, hoe groter de afwijking.  Als de Maan oneindig ver zou staan, was er geen verschil. De figuur hiernaast verduidelijkt dit.

Om het allemaal juist te meten, komt er veel bij kijken. Waar Hipparchus woonde, stond de Maan nooit in het zenith, maar was er hoe dan ook een verschil tussen hoe groot de afwijking was tussen meridiaandoorgang en ondergaan.  En het effect is niet echt klein: de straal van de Aarde (had Eratosthenes toen al gemeten!) is 6400 km, de afstand tot de Maan 380000; een verhouding van ongeveer 1/60, hetgeen betekent dat de richting naar de Maan vanuit helemaal boven een volle graad verschilt ten opzichte van deze vanuit het aardcentrum, en dat is twee maandiameters.  En onze vriend Hipparchus was een fenomenale waarnemer, met veel inzicht en doorzettingsvermogen ook.  Het resultaat dat hij vond, is volledig consistent met de huidige bevindingen, en al degenen die het hem hebben nagedaan, hebben niets wezenlijks toegevoegd.

Dezelfde Hipparchus was ook in staat zijn metingen te bevestigen met de meer directe methode, door simultaan op twee plaatsen tegelijk te zijn.  Hoe deed hij dat?  Vanuit de vaststelling dat een occultatie van de Zon als een totale 'verduistering' was waargenomen vanaf de Hellespont, maar dat de Zon slechts vier vijfden 'verduisterd' was geweest in Alexandria.  Het hoekverschil tussen beide beelden van de maan en de Zon geeft het verschil in hoek weer van waaruit men vanop de Maan de afstand tussen de Hellespont en Alexandria ziet.  Wanneer die hoek in radialen wordt uitgedrukt, is de afstand tot de Maan gewoon de afstand tussen beide plaatsen gedeeld door de hoek.  En het klopte opnieuw!

"Lunarparallax 22 3 1988". Foto vrijgegegeven onder Wikimedia Commons.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2018
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen