Tikt een klok in een satelliet die verder weg van de aarde staat trager af omdat zijn snelheid hoger is dan de satelliet die dichter rond de aarde draait?

Jan, 20 jaar
11 december 2014

Hallo! Ik ben een eerstejaarsstudent in de fysica en ik heb recent de film Interstellar gezien. In deze film is de relativiteitstheorie erg belangrijk.

Na een beetje opzoekwerk kwam ik onder andere te weten dat wanneer een lichaam sneller beweegt, de tijd trager gaat voor dat lichaam. Bijgevolg zal een levend wezen tegen een hogere snelheid, trager verouderen dan een stilstaand wezen.

Ik kwam ook uit op het concept dat "Gravitational Time Dilation" heet. Dit zegt dat wanneer een lichaam dichter bij een aantrekkingskracht is, het de tijd trager zal waarnemen dan wanneer het zich verder bevindt van een aantrekkingskracht. Omgekeerd wil dus zeggen dat wanneer je je verder van een aantrekkingskracht bevindt, dat de tijd dus sneller gaat.

Experimenteel is het tweede effect zichtbaar in klokken in satellieten, die zichzelf moeten corrigeren omdat zij sneller aftikken dan dezelfde klokken op aarde.

Dit lijkt ergens tegenstrijdig, omdat voor twee satellieten die tegen dezelfde periode rond de aarde reizen, maar op een verschillende afstand rond de aarde circuleren, hun snelheden toch ook moeten verschillen? Zou de satelliet die verder weg van de aarde staat en dus sneller aftikt, niet juist trager moeten aftikken omdat zijn snelheid hoger is dan de satelliet die dichter rond de aarde draait?

Of misschien heb ik de relativiteitstheorie gewoon compleet verkeerd begrepen.

Alvast bedankt!
Met vriendelijke groet, Jan

Antwoord

Er zijn twee effecten die de klok in een satelliet doen afwijken van een klok op aarde.

- ten eerste beweegt de satelliet, bijvoorbeeld ISS, tegenover een waarnemer op het aardoppervlak. Dat doet de klok in de satelliet trager lopen dan die op aarde. Dit effect is dus zuiver een gevolg van de relatieve snelheid. Maar omdat de snelheid van een satelliet (veronderstel een cirkelbaan zodat ze constant is) eenduidig verbonden is met de afstand tot het centrum van de aarde, kan je de tijdsdilatatie dus ook worden uitgedrukt als een functie van die afstand  r .  Dit is een effect uit de speciale relativiteitstheorie

- ten tweede bevindt de aardbewoner zich dichter bij het centrum van de aarde dan de satelliet. Daardoor loopt de aardse klok trager, of anders gezegd:, de satellietklok loopt sneller dan de aardse klok. Dit effect is een gevolg van gravitatie. Ook indien de satelliet in haar baan even zou stilstaan (wat natuurlijk niet kan) zou dit effect blijven. Ook dit effect is functie van de afstand tot het centrum van de aarde. Dit is een effect uit de algemene relativiteitstheorie.

De twee effecten werken elkaar dus tegen maar compenseren elkaar niet. Ze hangen beiden af van de afstand  r tot het middelpunt van de aarde maar op een verschillende manier. Op de bijgevoegde figuur heb ik de twee effecten en hun som geplot. De horizontale as is in aardstralen, dus r = 1 is het aardoppervlak. De verticale as toont in nanoseconden hoeveel een klok in de satelliet per seconde achter- of voorloopt tegenover een klok op het aardoppervlak. De eenheid op die as is dus  nanoseconde per seconde.

1) de onderste grafiek (zwart) toont het effect te wijten aan de snelheid. Hoe lager de baan, hoe hoger de baansnelheid (in m/s) en hoe groter dit effect. Ter hoogte van het aardoppervlak zou een klok in een satelliet die rakelings boven het oppervlak scheert per seconde 0.35 nanoseconde trager lopen. Het effect gaat naar nul als de straal van de satellietbaan naar oneindig gaat.

2) de bovenste grafiek (blauw) toont het effect van de gravitatie van de aarde. Dit verschil in kloksnelheid is nul in een satelliet die net boven het aardoppevlak zou scheren en neemt dan toe met de hoogte. Hoe hoger de baan, hoe meer de klok in de satelliet voorloopt tegenover die op aarde.

De rode grafiek toont de combinatie van beide effecten.

1) Voor cirkelbanen onder 1.5 aardstralen (dus onder 0.5 aardstralen in hoogte) overheerst het effect van de snelheid en loopt de klok netto achter. Per jaar in ISS  'wint' een astronaut ruw gerekend een honderdste van een seconde.

2) Op 1.5 aardstralen compenseren de twee effecten elkaar en loopt de klok in de satelliet gelijk met die op aarde.

3) Boven die straal loopt de klok in de satelliet sneller dan op aarde. Daar overheerst het effect te wijten aan de gravitatie. Dit is bijvoorbeeld het geval voor gps-satellieten en voor geostationaire of geosynschrone satellieten. Daar zou een astronaut dus iets sneller verouderen in vergelijking met een collega op aarde.

Voor gps-satellieten (op circa r = 4)  loopt de klok in de satelliet zo'n 38 microseconden per dag voor op een klok op aarde. Dit effect moet in rekening gebracht worden om de gewenste naukeurigheid van onze gps-apparaten te bereiken. Zonder algemene relativiteitstheorie geen nauwkeurige gps!

Zie over dit laatste bijvoorbeeld : http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html

en algemener de figuur op : http://www.wired.com/2014/11/time-dilation/

Nog een belangrijke opmerking: als twee satellieten in een cirkelbaan dezelfde periode hebben moeten ze ook banen met gelijke straal hebben. Bij een periode hoort een welbepaalde straal en omgekeerd' en dus ook een welbepaalde baansnelheid. Zo zijn snelheid v en straal r onlosmakelijk aan elkaar gekoppeld door de formule

 

v = wortel ( G Ma / r )

 

G is de universele gravitatie constante en Ma de massa van de aarde.

 

voor de periode wordt dit verband  : (2 pi / P) in het kwadraat = G Ma /r3          (dus r tot de derde) 

 

 

 

Reacties op dit antwoord

  • 28/12/2014 - Jan (vraagsteller)

    Bedankt voor het antwoord! Het heeft mij veel geholpen. Ik zie nu ook het verband tussen de periode en de straal, ik had namelijk een andere formule in gedachten (die hier niet van toepassing was). Het is heel interessant dat beide effecten voelbaar zijn terwijl ze toch door verschillende gegevens veroorzaakt worden.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen