Hoe bereken je het oppervlak van een cilinder dat contact maakt met het water in onderstaand vraagstuk?

A., 42 jaar
10 juli 2014

Een cilinder wordt onder een hoek t.o.v. het wateroppervlak deels in/op het water gehouden. De rand van de bovenkant van de cilinder komt net totaan het wateroppervlak. Een groot deel van de bodem zit onder het oppervlak, maar niet de gehele bodem bevindt zich eronder. Hoe bereken je het oppervlak dat contact maakt met het water?

Antwoord

Uiteindelijk gaat het hier over de snijding van een cilinder (het blikje) met een vlak (het wateroppervlak). Belangrijk is dat we het assenkruis zodanig kiezen dat de berekening zo eenvoudig mogelijk wordt. Een cilinder heeft een ingewikkelde vergelijking, behalve als zijn centrale as samenvalt met een coordinaatas.

We kiezen daarom de z-as als symmetrieas van de cilinder, zijn grondvlak als een cirkel met straal R in het xy-vlak, en zijn topvlak als een cirkel met straal R op hoogte H.

Op de figuur zie je de cilinder en het watervlak, als een schuin vlak. Het water bevindt zich onder dat vlak. Je ziet dat  het topvlak het water raakt, en dat het grondvlak deels in het water zit. Het watervlak is een vlak evenwijdig aan de y-as, en gaande door de twee groene punten. De hebben coordinaten :

groen punt bovenaan ( R, 0 , H),

groen punt onderaan ( kR, 0, 0 )  waarbij  -1 < k < k  naargelang het blikje ondergedompeld is.

cilinder:  x2 + y2 = R2

vlak:   H.x - z . R . ( 1 - k ) = H . R . k

Neem nu een punt op de cirkel onderaan, Dat heeft coordinaten ( R cos(t) , R sin(t) , 0 )  met t de hoek tussen het punt en de x-as. De hoeken die onder water liggen zijn deze waarvoor    - arccos( k ) < t < arccos(k)                  (immers: A = R cos(k))

Met een kleine toename  dt  van de hoek t stemt op de cirkel een booglengte  R dt overeen. De hoogte van de rode lijn vinden we door het punt  ( R cos(t) , R sin(t) , 0 )  in het vlak in te vullen en z te bereken.

Dit geeft z(t) = H ( cos(t) - k ) / ( 1 - k )

de oppervlakt van de rode strook is dus  z(t) R dt, namelijk de hoogte van de strook z(t) en de breedte van haar basis, R dt

Het totaal deel van de wand dat onder water zit is dan de integraal hiervan tussen de grenzen   t =  - arccos(k)  tot  arccos(k)

dus:  S = integraal [  H ( cos(t) - k ) / ( 1 - k ) R dt ]  tussen die grenzen

dit geeft  S = 2 H R [ wortel(1 - k2) - k arccos(k) ] / [1 - k]

voor k = -1 wordt dit  pi.R.H, inderdaad de helft van de mantel van de cilinder

Daarnaast is er ook nog deel van het grondvlak dat zich onder water bevindt :

Dit heeft een oppervlakte die makkelijk te vinden als :  S = 2 integraal (  wortel(R2 - x2) dx )  tussen x = k.R en R

Reacties op dit antwoord

  • 11/07/2014 - A. (vraagsteller)

    Dank u vriendelijk, prof. Hellings. Daar was ik zelf nooit op gekomen. We gaan ermee aan de slag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2018
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen