Hoe komt het dat je overal gewichtloos bent in een holle bol?

Marvin, 33 jaar
14 mei 2014

Newton's Shell Theorem verklaart dat je overal gewichtloos bent in een holle Aarde met bepaalde dikte. Het is logisch dat je in het centrum gewichtloos bent, want dan trekt iedere massa rondom je even hard aan je. Maar volgens mij trekt de schil steeds harder aan je hoe dichter je bij de schil komt. Het is zelfs zo dat je aan de binnenkant van de bol kunt lopen. Sterker nog, je ondervindt bijna dezelfde kracht als aan de buitenkant als de bol maar groot genoeg is. Als je de gravitatiewet respecteert tenminste. Je kan een bol gerust in oneindig veel schillen verdelen, maar de grote fout die Newton maakte is dat hij één enkele schil als oneindig dun aanziet. Zelfs een atoom heeft een dikte. Hij negeert zo het concept van zwaartekracht. Het is beter om de schil te verdelen in oneindig veel puntmassa's en de kracht van iedere puntmassa te gaan bekijken.

De wetenschap maakt ook de grove fout te denken dat het CoG samenvalt met het middelpunt van een bol.
Als het CoG tussen 2 punten niet in het midden ligt, hoe kan dit dan wel met een bol?
Een voorbeeld. stel G=1 en massa's=1
Een testmassa ligt op afstand 10 van massa2 en 14 van massa3. We verwachten het CoG op 12.
F12 = 1/10² = 0.01
F13 = 1/14² = 0.0051
F1(23) = 0.01 + 0.0051 = 0.0151

F = (m1.(m2 + m3))/R²
R² = 2/0.0151
R = 11.508

Antwoord

Het is juist dat de aantrekking groter wordt als je dichter bij een massa komt.  Als men 'boven' het centrum van de bol staat, zit men dus dichter bij de bovenkant en verder van de onderkant.  Maar er is dan ook meer materie onder de waarnemer dan erboven.  De versterking van de gravitatie gebeurt volgens 1/r^2, maar de vermeerdering van de massa door het grotere oppervlak gaat met het oppervlak van de bolschil, en die gedraagt zich als r^2.  Beide effecten compenseren netjes.  Als u de schil opdeelt in individuele puntmassa's die er homogeen op verspreid zijn, bekomt u hetzelfde resultaat: de som van alle aantrekkingen is overal nul.

Het massacentrum van de bolschil is inderdaad het centrum van de bol.  Dit is helemaal niet in tegenspraak met het 'shell theorem'.  Dat stelt niet dat elk punt massacentrum is, maar wel dat de aantrekking naar het massacentrum binnenin overal nul is.

Reacties op dit antwoord

  • 21/05/2014 - Marvin (vraagsteller)

    de som van alle aantrekkingen van de individuele puntmassa's is zeker NIET nul in een bolschil! (behalve in het centerpunt) Massacentrum en CoG (center of gravity) zijn totaal verschillende begrippen! ENKEL op oneindige afstand van de bol vallen die samen. Mail me persoonlijk aub, dat ik uw email adres heb... Dan kan ik verder toelichten. Dank

  • 21/05/2014 - Marvin (vraagsteller)

    Het massacentrum en CoG (center of Gravity) mogen niet verward worden! Het zijn totaal andere begrippen. Het massascentrum en CoG vallen enkel samen als de testmassa zich op 'oneindige' afstand bevindt van de bol. Binnen een bolschil vallen diezelfde samen enkel en alleen in het middelpunt van de bol. "Als u de schil opdeelt in individuele puntmassa's die er homogeen op verspreid zijn, bekomt u hetzelfde resultaat: de som van alle aantrekkingen is overal nul." Ik moet helaas constateren dat dit antwoord compleet verkeerd is. Als een testmassa zich op afstand 1 bevindt van de bolschil (binnenin), dan krijgt die massa een kracht van F= 1/1² = 1 door de dichtsbijgelegen puntmassa. De straal van de bolschil is vb 1000. Dan is de kracht van een puntmassa aan de tegenovergestelde kant F = 1/1999² = 0.0000002502. Ik ben eens benieuwd hoe U aan die nuloperatie komt...

  • 21/05/2014 - Christoffel (wetenschapper)

    Gewoon omdat er zoveel meer puntmassa's zijn aan de andere kant. Verder lijkt het mij dat in dit probleem enkel het massacentrum relevant is.

  • 22/05/2014 - Marvin (vraagsteller)

    "'Gewoon' omdat er zoveel meer puntmassa's zijn aan de andere kant." ? Als je diezelfde testmassa 100 keer dichter bij de bolschil brengt is de kracht F = 10000 Dit wil dan zeggen dat er 400 miljard tegenovergelegen puntmassa's nodig zijn om de kracht van die ene puntmassa op te heffen. Enkel en alleen de afstand of 1/R² is doorslaggevend. Newton's bolschiltheorie tart met elke vorm van logica volgens mij.

  • 22/05/2014 - Christoffel (wetenschapper)

    Beschouw een willekeurig punt binnen de bol. Bepaal de lijn door dat punt en het centrum. De afstanden ten opzichte van dat punt tot de snijpunten met de bol noemen we r (eigenlijk r1 en r2). De verhouding van de aantrekkingskrachten tot een massapunt op de bol verhoudt zich telkens volgens 1/r^2. Hoeveel van die massapunten zijn er? Binnen een kleine hoek epsilon rond de beschouwde lijn zijn het er meer verder af dan dichter bij. Hoe kwantificeren we dat? Het cirkeltje dat de doorsnede is van de bol en de kegel met hoekpunt epsilon heeft een straal (epsilon x r), waarbij r dus de afstand is vanaf het beschouwde punt en epsilon uitgedrukt in radialen. Het oppervlak van die cirkel is dan het kwadraat van die straal maal pi. Het oppervlak van de cirkel is dus evenredig met r^2. Als de massadichtheid op de bolschil constant is, betekent dus dat de massa die binnen een bepaalde hoek rond de lijn aantrekt, evenredig is met r^2. De totale aantrekkingskracht is evenredig met de massa gedeeld door r^2, aan beide kanten van het punt. Dat is dus telkens hetzelfde, en zo voor alle richtingen. De netto aantrekkingskracht is dus nul. Als de verhoudingen van de afstanden 100 is, komt dit neer op 10000 gedeeld door 10000. Waar uw 400 miljard vandaan komt, is mij niet duidelijk.

  • 23/05/2014 - Marvin (vraagsteller)

    U zet zwaartekracht om in oppervlakte. Dat is een goeie methode. Ik snap uw redenering wel, maar u vergeet een zeer belangrijk detail. Laten we eerst de massa in het middelpunt plaatsen en laat van daaruit de 'scopes' vertrekken. (ifv R is de hoek van de scope 65.54°, heb ik uitgerekend) De verspreiding van de zwaartekracht gebeurt in bolkappen als het ware vanuit dat punt. De bolkappen raken netjes de binnenwand want het heeft dezelfde kromming, beeld u in dat passerpunt in het middelpunt staat. Scope komt in iedere richting dezelfde oppervlakte tegen, dus F = 0. Akkoord. Stel nu dat de massa zich redelijk dicht bij de binnenwand bevindt. Trek een cirkel door de 2 uiterste punten waar de scope de binnenwand raakt. De bolschil die je zo creëert zit 'in' de schil. Maar de massa krijgt aantrekking van de dichterbijgelegen bolschil die de scope aan de binnenkant van de schil creëerde. Ok de oppervlakte van die bolschil is wel iets kleiner maar dat weegt niet op de grotendeels dichtergelegen oppervlakte. Aan de overzijde is het net het omgekeerde. Daar ligt de bolschil aan de binnenzijde verder dan de 'bolschil' van de scope. Je kunt het ook anders bekijken. Om dezelfde kracht uit te oefenen op de massa volstaat een kleinere oppervlakte (aan de dichtste kant), terwijl in het geval van een centrale testmassa een grotere oppervlakte nodig is binnen diezelfde equivalente scope. De andere verre kant heeft dan weer meer oppervlakte 'nodig' om dezelfde kracht uit te oefenen. Het lijkt wat ingewikkeld maar met tekeningen is dit veel duidelijker. Die 400 miljard was 10000/0.00000025. Maar deze discussie met puntmassa's heeft geen zin. De enige waarheid is te achterhalen met rekenkracht.Ik heb een programma geschreven in vbscript (3 for-lussen nodig) die een bol in miljoenen, desnoods miljarden puntmassa's verdeelt en alle krachten optelt, uiteraard rekening houdend met dubbele cosinusinvloed op de krachten. De resultaten spreken Newton tegen, simpel. Ik dacht dat pc's in die tijd nog niet bestonden...

  • 23/05/2014 - Marvin (vraagsteller)

    Ik spreek daar plots van de bolschil die de scope maakt, dit moet natuurlijk bolkap zijn..

  • 23/05/2014 - Marvin (vraagsteller)

    Newtons Shell Theorem stelt dat een bol verdeeld kan worden in oneindig veel bolschillen. Op zich niets verkeerd mee, maar een enkele bolschil mag niet als puntmassa aanzien worden. Als je dan nog de bolschil oneindig dun maakt, dan is het logisch dat die bolschil dan ook bijna geen kracht uitoefent op de massa. En in welk punt heb je een kracht F = 0? Juist, in het centerpunt. De theorie gaat er dus al vanuit dat de CoG van een bolschil samenvalt met het middelpunt van de bol, wat je niet met zekerheid kunt zeggen (het is niet zo). De 'dikte' van een bolschil mag niet vergeten worden en kan dus ook niet behandeld worden als 1 puntmassa. Door het oneindig dun te maken negeer je het feit dat de bolschil een massa heeft. De bolschil mag bvb wel verdeeld worden in oneindig veel puntmassa's, maar iedere puntmassa heeft zijn massa en moet elk afzonderlijk bekeken worden.

  • 23/05/2014 - Christoffel (wetenschapper)

    Tjongejonge, dit komt nooit goed. Maar het lijkt me toch stilaan tijd om dit af te ronden. Enkele rechtzettingen eerst - Waar ik 'zwaartekracht heb omgezet in oppervlak' begrijp ik niet. Het is wel zo dat mijn vorige inzet iets te maken had met de geometrische manier om het probleem te behandelen. - Verschillende manieren om eenzelfde fysisch fenomeen te bekijken, moeten hetzelfde resultaat geven, anders is minstens een ervan verkeerd. Ik denk dat het beeld van mijn vorige interventie eenduidig is. - Het statement 'de enige waarheid is te achterhalen met rekenkracht' is een aanfluiting van het menselijk denken. - Niet alleen in het massacentrum is de resulterende kracht nul, het is overal zo binnen de schil. - Ik heb op geen enkel moment de bolschil behandeld als een puntmassa. Eigenlijk lijkt dit hele misverstand te gaan over de wiskundige beschrijving in termen van de continue integraal- en differentiaalrekening tegenover deze met discrete massa's. Het is waar dat een continue benadering van een fundamenteel discrete materie niet evident is. En het is onjuist dat men dat probleem nog nooit eerder onderkend en opgelost heeft. Tenslotte: aantonen dat Newton een dommerik is op grond van een redenering die uitgaat van de formulering door Newton zelf van de zwaartekracht, lijkt mij niet de meest coherente vorm van het zich manifesteren van een intelligent wezen. Lang voor Newton zou men gezegd hebben dat dit een 'contradictio in terminis' is.

  • 23/05/2014 -  (wetenschapper)

    -U spreekt toch van "Het oppervlak van de cirkel is dus evenredig met r^2". U bekijkt welke kracht deze oppervlakte uitoefent op de testmassa. Dus u zet zwaartekracht om in oppervlakte volgens afstand. Dit kan ook als vlakken bekeken worden. Een vlak op afstand R=1 heeft een opp van 1m², op R=2 is dit 4m², op R=3 is dit 9m², enz.. Al deze vlakken oefenen dezelfde kracht uit op de testmassa. Dit is volgens mij toch zwaartekracht 'omzetten' in oppervlakte... - ik heb dit fysisch probleem op 2 andere manieren behandeld dan de integraal. Alleen dit laatste gaf een totaal ander resultaat. - je kunt dit probleem ook logisch bekijken: snij een bol verticaal door, dan heb je 2 gelijke helften. In vooraanzicht bevindt de testmassa vb links van bol, op dezelfde as. De linkerhelft trekt meer aan de testmassa dan de rechterhelft. Hoe kan het CoG dan in godsnaam in het middelpunt van de bol liggen?! Je mag zelfs de massacentra's nemen van die twee helften en de afstand tot het CoG uitrekenen zoals ik in mijn vraagstelling uitrekende. De cosinussen van de hoeken van de dichtste halve bol zijn idd kleiner, maar weegt niet op tegen de afstand (F evenredig met 1/r² geeft doorslag) - Het klakkeloos aanvaarden van een integraal lijkt me eerder een aanfluiting van het menselijk denken. Ik heb persoonlijk meer voeling met een rekenblad dan met een integraal. Kunt u mij dan andere bewijzen voorleggen voor gewichtloosheid binnen een bol, buiten de gekende integraal? Ik zou nooit durven om Newton een dommerik te noemen, integendeel. Laat ons zeggen dat uw idool hier een 'klein' foutje begaan heeft. Als u denkt mij te overweldigen met uw geletterdheid moet ik u ontgoochelen. Ik blijf liever bij de feiten. Het feit is, als de CoG niet in het centerpunt ligt (waar ik 100% zeker van ben), dan heeft Cavendish zijn gravitatieconstante G verkeerd berekend. Ik kom voorlopig uit op een waarde van 6,42965E-11 maar is onder voorbehoud.. De gravitatiewet zal wel juist zijn hoopik. Die gaat immers uit van puntmassa's. Mocht ik niet zeker van mijn stuk zijn, ik had dit forum al lang verlaten en mezelf niet verder belachelijk gemaakt toch? Mijn wens is alleen dat intelligentere mensen dan ik mee nadenken over dit probleem. Haal de fout dan uit mijn code. Waar valt het CoG van een testmassa tegenover een cirkel/ring? liggen in hetzelfde vlak, testmassa ligt op as door middelpunt.. In het middelpunt? indien ja wil ik hier wel de code posten.

  • 24/05/2014 - Christoffel (wetenschapper)

    Wat antwoorden - Ach, nu begrijp ik het. U identificeert massa met gravitatie. - Tja, dan is die ene oplossing beter dan die twee andere. - Ze trekken dus even hard, in verschillende zin, en compenseren dus elkaar. De individuele krachten van wat u de linkerhelft noemt zijn groter, maar een fractie ervan trekt naar rechts eerder dan naar links, en de som (integraal!) is dezelfde dan rechts op het teken na. - Men aanvaardt geen integraal klakkeloos. Want dat is een wiskundig eenduidig gedefinieerd begrip. Het verband tussen wiskunde en fysica lijkt vrij belangrijk in dit misverstand. Het 'shell theorem' is een wiskundig theorema. En dus enigszins geidealiseerd. Het gaat uit van een homogene continue massaverdeling. Terwijl de werkelijkheid discreet is. Het theorema is wiskundig rigoereus, de vraag is in welke mate de fysische werkelijkheid volgt. Het is evident dat de overeenkomst beter moet zijn naarmate het werkelijke aantal deeltjes groter is. En dat afwijkingen ten opzichte van de werkelijkheid dus kleiner zijn als het aantal deeltjes groter wordt. U spreekt van miljarden deeltjes. Welnu, in een gram waterstof, 12 gram koolstof, en 56 gram ijzer, zijn er 6X10^23 atomen. Daartegenover is een miljard compleet irrelevant. Het is dus niet zo gek om vele vele deeltjes als een continuum te beschouwen, en er bestaan rigoerueze theorema's die dat duiden. Een geidealiseerde benadering van de wetenschap heeft zin, in de mate de fouten ten opzichte van de werkelijkheid klein zijn. Die fouten zijn kleiner naarmate N groter is, en in dit geval zijn ze irrelevant ten opzichte van elke extrinsieke onzekerheid. Voor wat de Aarde betreft, een mol die een gang graaft in de grond, zorgt voor een grotere afwijking dan de aanname dat deeltjes continu eerder dan discreet verdeeld zijn. Wat mij enigszins verontrust in uw analyse, is dat u blijkbaar wel rigoereus besluit dat het massacentrum met het geometrisch centrum samenvalt. Voor een lukrake eindige verdeling van de deeltjes op de bol is dat onwaarschijnlijk.

  • 25/05/2014 -  (wetenschapper)

    hoe meer deeltjes, hoe juister het resultaat, dat is heel juist. Stel dat een massa zcih op afstand 4 buiten een bolschil van R = 10 bevindt. Ik verhoog stelselmatig de verdeling v: v afstand tot CoG aantalmassas 10 13.55808 3721 50 13.62253 422728 100 13.62853125 3336869 150 13.63026 11209983 200 13.631089 26509646 250 13.6315665 51703229 300 13.631873 89258209 Ik kan gerust een verdeling ingeven van 1000, maar dan zal ik mss een kwartier moeten wachten tot pc gedaan heeft met rekenen Een klein kind kan inzien dat de afstand tot het CoG nooit de 14 zal halen, de 'verwachte' afstand tot het CoG volgens de wetenschap. Ik denk niet dat je mijn vraag van de 2 halve bollen begreep. Het is tov een massa die buiten de bol ligt. De krachten van de twee helften zijn dus in dezelfde richting. Uw laatste zin zal ik repliceren à la Bart de Wever: "Als je echt geen argumenten meer over hebt..." Ik verdeel de bol in puntmassa's met gelijke afstand ertussen. Er zijn uiteraard afrondingsfoutjes om geen assymmetrische bol te krijgen, maar als de verdeling groot genoeg is kan ik leven met een foutmarge van 0.000001%. Als ik de massa plaats in het middelpunt van een holle bol krijg ik als resultaat F = 0 (enkel en alleen in het middelpunt), wat een goed teken is voor de verdeling van de massa's.

  • 25/05/2014 -  (wetenschapper)

    vervolg: v afstand tot CoG aantalmassas 350 13.6320884 141.641.954 400 13.63224678 211.321.962 450 13.6323684 300.765.613 500 13.6324641 412.440.398 550 13.632541 548.813.601 600 13.632606 712.352.790 650 13.632659881 905.525.075 Even benadrukken dat dit tegenover een volle bol is. Op een astronomische afstand vb 150000 tov bol met R=10 kom ik uit: afstand tot CoG = 150.009,9999612220 (Dus net niet in het middelpunt) Dus enkel op oneindige afstand valt het CoG dus samen met het middelpunt van de bol zoals ik al zei. Cavendish heeft dus ook de G serieus misrekend. Of maak ik hem nu weer uit voor dommerik? Mijn persoon doet hier zeker niet ter zake, maar ik vind het heel frappant en grof dat mensen met een Phd nooit luisteren naar 'leken'. Precies of je een goeie loper een fiets geeft en er van uit gaat dat hij niet meekan met een bende getrainde wielertoeristen. Als je een stel benen hebt, kun je fietsen. Ook mensen zonder Phd hebben werkende hersenen mocht je dat nog niet weten.

  • 25/05/2014 - Christoffel (wetenschapper)

    Dankuwel. Dit was de 741ste vraag die ik beantwoord heb op deze website, en meer dan eens is dat bijzonder uitgebreid gebeurd. Als ik als wetenschapper met een PhD minachting zou hebben voor anderen, zou ik dat nooit gedaan hebben. Als u wil dat wetenschappers met enige expertise geen tijd meer vrij maken om dergelijke discussies aan te gaan, dan moet u vooral verder gaan op de ingeslagen weg. Het zal u immers helpen in de enige weg die u schijnt te volgen, deze van het eigen zogenaamd gelijk, in weerwil van alle gezond verstand.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen