Hoe krijg ik een vergelijking voor de rechte die door het punt P gaat en de kruisende rechten p en q snijdt?

kris, 40 jaar
19 maart 2014

Gevraagd:

Zoek een vergelijking van de rechte die door het punt P gaat en de kruisende rechten p en q snijdt. Kan iemand me helpen want dat is te lang geleden. Bedankt hiervoor.



geg: p <-> {2x-y+4=0

x+z-3=0}



q <-> {x=6+3r

y=1+r

z=4-r}

gamma <-> x-3y+4z+2=0 en A(3, -2, -3)

Antwoord

De gegevens die je erbij geeft... ik vermoed dat het punt A op het einde het punt P uit uw vraagstelling is? Ik los het op met die veronderstelling, de methode is in elk geval het belangrijkste. En wat dat vlak 'gamma' achteraan is weet ik niet en heb ik ook niet nodig gehad.

Rechten in 3D kan je geven in parametervorm (zoals uw rechte q), of als snijlijn van twee vlakken (zoals uw rechte p) of in cartesische vorm. Een rechte in parametervorm zetten in heel nuttig als je een bepaald punt op de rechte zoekt, vb een snijpunt met een vlak. Je hoeft dan geen 3x3 stelsel op te lossen, maar bepaalt gewoon de parameterwaarde van het snijpunt. Een rechte als snijlijn van 2 vlakken laat toe een ander nuttig  ding op te stellen namelijk de vlakkenbundel of vlakkenwaaier. Daar maak ik nu gebruik van om te beginnen met de recht p.

1: zoek het vlak alfa  door de rechte p en het punt P   (makkelijk want de rechte p is gegeven als twee vlakken  => gebruik vlakkenwaaier door rechte p)

2: zoek dan het snijunt Q van alfa en de rechte q (ook makkelijk want q is in parametervormg gegeven)

3: de gevraagde rechte is de rechte door P en Q

oplossing :

1:  vlakkenwaaier door rechte p:  K (2x - y + 4) + L (x + z - 3 ) = 0

     vraag nu datA(3, -2, -3) op die waaier ligt  :   K . 12 + L (-3) = 0   =>  4K - L = 0   dus neem  K = 1 en L = 4    =>    alfa:  6x - y + 4z - 8 = 0

2 : snijpunt van alfa met  q : vul de parametervorm in in alfa en je bekomt de parameterwaarde van Q, en dus Q zelf   :   6 ( 6 + 3r) - (1 + r) + 4 (4 - r) - 8 = 0

     dus   13 r  + 43 = 0   zodat  r = - 43/13  en dus Q = ( -51/13 , -30/13 , 95/13 )

3 : de richting van de gevraagde rechte is dan  P - Q = ( 90/13 , 4/13 , -134/13 )   en dus evenwijdig met  ( 45 , 2 , - 67 )

 

dus de gevraagde rechte is dan (in parametervorm vanuit referentiepunt   P)   x = 3 + 45 t   ;  y = -2 + 2 t  ;  z = -3 - 67 t

 

 

 

 

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen