Wat is het antwoord op onderstaande vraag uit de Wiskunde-olympiade?

Benny, 33 jaar
28 januari 2014

Deze vraag heb ik eens gevonden op de site van de Wiskunde-olympiade. Ik denk de oplossing gevonden te hebben maar aangezien ik de vraag niet direct terug vind, wil ik even controleren of mijn antwoord wel juist is.

In een kubus met zijde = 1 zitten 9 identiek gelijke bollen gestapeld. Deze bollen zitten zodanig gestapeld dat het center van de middelste bol perfect samenvalt met het center van de kubus. De 8 andere bollen raken natuurlijk aan de bol in het midden maar ook nog eens aan 3 vlakken van de kubus (dus elke bol raakt aan 3 vlakken van de kubus en natuurlijk ook nog eens aan de bol in het midden). Met dit allemaal gegeven vraagt men wat de straal is van die bollen.

Ik denk dat het 0.2165 of 1/8 van wortel 3...

Antwoord

Bekijk het eerst eens in 2 dimensies, met vijf cirkels met straal R in een vierkant met zijde L.

Als je langs de diagonaal loopt zie je in totaal 4 volledige stralen (rood) en twee maal een stukje met lengte  wortel(2) . R  Die wortel(2)  komt gewoon van Pythagoras want het middelpunt van zo'n cirkel in een hoek ligt op afstand R van elk van zijn zijden.

Anderzijds is lengte van een diagonaal  wortel(2) . L

Dus:  4 R + 2 wortel(2) R = wortel(2) L

zodat  R = wortel(2) / [ 4 + 2 wortel(2) ]  .  L       =>    R =   0.2071067812.. L    

(Het kan ook door een ribbe te vergelijken met die zes straal: twee zie je volledig, de vier ondere onder een hoek van 45°  => 2R + 4 cos(45°) R = L   ...... )

 

Nu in 3 dimensies. We maken een zelfde redenering tussen twee tegenover elkaar liggende hoekpunten in een kubus met ribbe L.Die verbinding heeft nu een lengte wortel(3) L   wegens Pythagoras in drie dimensies.

Anderzijds vinden we langs die verbinding weer 4 volledige stralen  + twee maal een stukje met lengte " wortel(3) . R"   Die wortel(3)  komt weer van Pythagoras in drie dimensies want het middelpunt van zo'n bol in een hoek ligt op afstand R van elk van zijn drie zijvlakken.

Dus:  4 R + 2 wortel(3) R = wortel(3) L

zodat  R = wortel(3) / [ 4 + 2 wortel(3) ] L       =>    R =   0.2320508076....  L

 

 

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen