Heeft elke verzameling een dimensie?

Simon, 17 jaar
22 april 2013

Ik heb een vraag in verband met fractalen. Hausdorff wilde de dimensie van de cantorverzameling onderzoeken. Ik vroeg mij af waarom hij dit deed?
Hebben alle verzamelingen dan eigen dimensies?

Antwoord

Beste Simon,

Cantor had rond 1880 inderdaad vreemde verzamelingen geconstrueerd, onder andere in de aanloop naar zijn nieuwe theorie over oneindigheid. Met zes artikels zette hij de wiskundige wereld op zijn kop door te "bewijzen" dat er verschillende soorten oneindigheid waren, een mogelijkheid waarmee bijna niemand tot dan toe rekening gehouden had. Zijn bewijzen werden eerst niet geaccepteerd en het duurde tot 1908 (axiomatisatie van de verzamelingenleer door Zermelo) eer de theorie van Cantor bredere ingang vond onder wiskundigen.
 
Even een uitstapje naar het begrip maat. Een maat is een abstract begrip dat men aan bepaalde verzamelingen kan hechten, dat voor ééndimensionale structuren (deelverzamelingen van de reële rechte bijvoorbeeld, zoals de cantorverzameling) overeenkomt met "lengte", voor tweedimensionale structuren met "oppervlakte", voor driedimensionale met "volume" en voor nuldimensionale met "aantal". De maattheorie bestudeert maatruimten, verzamelingen waarop een maat gedefinieerd is, zoals R, R², Rn
De maat van een bepaalde verzameling is afhankelijk van de maatruimte waarin je werkt. Zo heeft een lijnstuk van lengte m misschien wel maat m op de reële rechte (maatruimte op R), maar ze heeft maat 0 in het reële vlak (maatruimte op R², waar de maat overeenkomt met oppervlakte).
 
Eénmaal het stof rond Cantors theorie gaan liggen was, heeft Hausdorff de cantorverzameling verder bestudeerd. Zeer vreemd eraan was dat ze niet alleen oneindig, maar zelfs overaftelbaar veel elementen bevatte, maar toch maat 0 had. De zeer natuurlijke vraag die Hausdorff stelde was: is er een maat, die niet één van de vorige is, tussen de 0-dimensionale maat "aantal punten" (die overaftelbaar oneindig oplevert voor de cantorverzameling) en de 1-dimensionale maat "lengte" (die 0 oplevert voor de cantorverzameling), zodat de cantorverzameling een eindige niet-nul maat krijgt? Is er een "natuurlijke dimensie" waarin de cantorverzameling leeft, tussen 0 en 1? Inderdaad, het begrip hausdorffdimensie van een verzameling, dat in een algemenere context wordt gedefinieerd, zou voor maatruimten precies overeenkomen met de kantelwaarde voor d waarvoor de d-dimensionale hausdorffmaat van die verzameling van 0 naar oneindig springt (en voor die d doorgaans een eindige waarde oplevert).
 
Klassieke verzamelingen hebben een gehele hausdorffdimensie, en speciale verzamelingen met gebroken hausdorffdimensie werden om die reden fractalen genoemd. De hausdorffdimensie is een grootheid die zegt hoe "ijl" of hoe "dicht" de structuur is. Voorbeelden vind je hier.
De hausdorffdimensie is een essentieel kenmerk van een verzameling, dat informatie erover bevat. En numerieke karakteristieken hechten aan een object, is zeer algemeen in de wiskunde (vergelijk met de variantie van een statistische verdeling of het aantal keer dat een reële functie continu afleidbaar is).

Je kan inderdaad een hausdorffdimensie bepalen voor elke "meetkundige figuur" (daarmee bedoel ik een verzameling die je kunt opvatten als deelverzameling van R3 of meer algemeen, Rn. In deze ruimte kun je het begrip "bol met straal ε" definiëren. De fractale dimensie is dan de limiet voor ε→0 van een functie van het aantal bollen met straal ε, die je nodig hebt om de verzameling te bedekken. Eigenlijk heb je enkel de notie van "afstand" nodig, dus elke verzameling, voorzien van een afstandsbegrip, laat toe om hausdorffdimensie te hechten aan deelverzamelingen ervan.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen