Zijn er uitzonderingen op de regel dat je irrationale getallen niet kan vermenigvuldigen met een natuurlijk getal zodat een natuurlijk getal wordt bekomen?

Sebastiaan, 20 jaar
17 april 2013

Irrationale getallen - zoals bijvoorbeeld pi - hebben de eigenschap dat er geen natuurlijk getal bestaat waarmee het irrationaal getal kan vermenigvuldigd worden om een natuurlijk getal te bekomen. Anders zou het uiteraard kunnen geschreven worden als een breuk, en dan zou het een rationaal getal zijn.
Nu vroeg ik mij af: kan dit wel "in de limiet"?

Bijvoorbeeld:

Stel dat f_n een rij is, gedefiniëerd door f_n = min{ k*PI - int(k*PI) } met k een natuurlijk getal gaande van 1 tot n en int() de functie die het gehele deel neemt van een getal. Kan dan gesteld worden dat de limiet voor f_n voor n gaande naar oneindig 0 is? En zoja, kan dit bewezen worden voor elk irrationaal getal?

Antwoord

Beste Sebastiaan,

inderdaad, die limiet is 0, en dat is zo voor elk irrationaal getal (en natuurlijk ook voor elk rationaal getal, dus voor elk reëel getal). Je kan dit bijvoorbeeld inzien indien je aanneemt dat er bewezen is (wat wel zo is) dat elke sequentie van cijfers, hoe lang ook, voorkomt in de decimale schrijfwijze van pi. Je neemt dan als speciaal geval de sequentie bestaande uit allemaal nullen, van lengte n. Stel dat die voorkomt na de k-de decimaal. Vermenigvuldigen met m:=10^k geeft dan f_m kleiner dan 10^{-n}. Aangezien we dit kunnen doen voor elke n, is de limiet uiteindelijk 0, want we kunnen f_m willekeurig klein krijgen. In feite is, voor irrationale getallen, het nul zijn van jouw limiet equivalent met bewijzen dat elke sequentie van cijfers, hoe lang ook, steeds voorkomt, en dat is waar.

Je kan het ook anders en rechtstreeks bewijzen. Indien je details wenst, kan je me dat vragen, maar ruwweg gaat het zo: stel dat we het irrationaal getal x hebben. Voor elk natuurljk getal n, stel g(n)=nx-int(nx). Je kan gemakkelijk een natuurlijk getal n vinden waarvoor g(n)<1/2. Voor een unieke k geldt dat kg(n)<1 en (k+1)g(n)>1. Je ziet dan dat g(n(k+1))< g(n). Indien g(n(k+1))>g(n)/2, dan zie je in dat g(n(k+1)^2)=g(n)-2t, waarbij t=g(n)-g(n(k+1)). Zo verdergaand kunnen we een macht u kiezen met g(n(k+1)^u)<g(n)/2. Dus we kunnen g(n) halveren. Zo verdergaand convergeren we naar 0.

Ik hoop dat dit een beetje bergrijpbaar is.

vriendelijke groeten,
-- Hendrik Van Maldeghem

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen