Hoe bereken je een primitieve functie/integraal van het folium van Descartes?

Leander, 17 jaar
6 maart 2013

Ik vind amper documentatie over dit onderwerp en zou graag weten met behulp van welke technieken en uitgaande van welke vergelijking (cartesische vgl, polaire vgl, parametervgl) men de primitieve functie/integraal kan bepalen van het folium van Descartes.

Antwoord

Wellicht vraag je naar een primitieve functie om die oppervlakte te zoeken?

Een primitieve functie bereken je van een expliciete functie, dus van y(x).
Een primitieve functie van het folium van Descartes kan je niet berekenen omdat het folium geen expliciete functie y(x) is. Er zijn immers gebieden op de x-as die meerdere beelden hebben. Zo'n functie, zoals het folium in cartesische coordinaten, is een impliciete functie, een gezamenlijke eis op x en y, zonder dat er een van de twee expliciet in functie van de andere kan geschreven worden. Je zegt in feite: 'Mijne heren x en y, je kunnen doen wat jullie willen, zolang jullie maar samen aan de uitdrukking van de impliciete functie voldoen".

Wat je wel kan is bijvoorbeeld de oppervlakte van de lus berekenen, (of zijn lengte, zijn omwentelingsinhoud rond de x- of de y-as....).  Dat kan zowel in poölcordinaten als in parametervorm. Voor de oppervlakte van de lus:

1)  Een oppervlakte-integraal van de lus in poolcoordinaten  ρ(θ) bereken je met

S =  1/2 . integraal [ ρ2(θ) dθ ]
waarbij je moet integreren van de kleinste naar de grootste hoek (zodat dθ positief is), en je een positieve oppervlakte uitkomt wegens het kwadraat in de integrand

met  ρ(θ  =  3a sinθ  cosθ / [ sin3θ + cos3θ ]

en met de grenzen van de lus  θ = 0 ... pi/2
bekom je een oppervlakte   S  = 3a2 / 2

2) In parametervorm:

x(t) = 3 a t / [ 1 + t3 ]   en   y(t) = 3 a t2 / [ 1 + t3 ]

de lus wordt in tegenwijzerzin doorlopen als  t van 0 naar +oneindig loopt
Je schrijft de oppervlakte net zoals in cartesische coordinaten als een som van allemaal verticale strookjes met oppervlakte  dS = y.dx
Als x en y zelf van t afhangen wordt dat dus
dS = y(t) . x'(t) dt
Voor de integraal moet je in dit geval van t = +oneindig (ondergrens) naar t = 0 (bovengrens) integreren. Immers,  de bovenkant van de lus wordt dan van links naar rechts doorlopen zodat dx positief is en een positieve bijdrage levert. De  oppervlakte onder de onderkant die je zo teveel hebt wordt er in één moeite terug uitgehaald omdat je daar van rechts naar links integreert zodat dx negatief is.

Dus  S = int [ y(t) . x'(t) dt ]   van t = +oneindig naar t =0
Je vindt dan opnieuw  s = 3a2 / 2

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen