Wat is de grootste oppervlakte die je kan afbakenen?

Andries, 58 jaar
19 januari 2013

Op 02/01/2013 werd de volgende vraag gesteld en beantwoord door Ds Bert Seghers, RUG.
"Je hebt 100 meter prikkeldraad en je moet daarmee twee velden afspannen, alle twee even groot. Wat is de grootste oppervlakte die je kan afbakenen? De vorm maakt niet uit, de velden mogen tegen elkaar liggen. Met verliezen door beveiligings-punten en/of toegangs-poorten moet je geen rekening houden."
Het antwoord van Ds.Seghers was (ongeveer) 423.781 m².
Zelf kom ik uit op 458.003 en wel als volgt:
a) 100m = [1 x omtrek(= Y op afb)]=[1 x middellijn(= X op afb)]
b) omtrek = middellijn x 3.14
100m is dus = (3.14 maal X) + (1 maal X)
Vereenvoudigd is dat (3.14 +1) x X = 4.15 x X
X is dus gelijk aan 100/4.14 = 24.15458937
r is dus gelijk aan (X/2) = 12.07729469
Oppervlakte is dus (r x r x Pi) = 458.0036877

Waar zit de fout ???

Antwoord

Beste Andries,

Het blijkt inderdaad dat 423.781 vierkante meter niet de optimale oplossing is. Jouw oplossing is reeds veel beter. 
 
Er blijkt echter een nog betere, optimale oplossing te bestaan. Om deze te verkrijgen, kunnen we volgende redenering maken:
 
- De randen tussen buitenkant en binnenkant moeten cirkelbogen zijn omdat cirkels naar verhouding de beste oppervlakte/omtrek verhouding hebben. Dat dit principe ook toegepast mag worden op cirkelbogen is iets moeilijker uit te leggen. De intuïtieve uitleg is dat een kleine perturbatie van een cirkelboog een curve oplevert die eventueel meer oppervlakte beslaat, maar anderzijds ook veel meer omtrek heeft. De wiskundige, meer rigoureuze, uitleg is dat de Euler-Lagrange vergelijking van het probleem een gewone differentiaalvergelijking is. Die geeft dan aanleiding tot cirkelbogen.
- De rand tussen de twee velden moet recht zijn omdat een kleine perturbatie van deze rand geen enkel effect heeft op de totale ingesloten oppervlakte. Daarom is de minimalisatie van de lengte de enige kracht die de vorm van deze rand bepaalt --> de curve met minimale lengte tussen twee punten is een rechte. 
 
Op deze manier kunnen we dus een verdeling verkrijgen zoals weergegeven in figuur 2. De enige vraag die nu nog overblijft is: hoe ver moeten de twee middelpunten van elkaar staan om een optimale oppervlakte te verkrijgen? Het antwoord kan verkregen worden door de verhouding tussen de oppervlakte en het kwadraat van de lengte van de prikkeldraad te maximaliseren en luidt: de twee middelpunten moeten exact één straal van elkaar staan. In dit geval is de verkregen oppervlakte gelijk aan 0.04945778824772 maal de lengte van de prikkeldraad in het kwadraat. Een exacte formule voor deze factor is gegeven in figuur 2. Het blijkt dus dat met een prikkeldraad van 100 meter een oppervlakte van 494.577 vierkante meter afgespannen kan worden.
 
Er is ook nog een interessante link met het onderzoek verricht door de Belgische wetenschapper Joseph Plateau. Hij onderzocht het gedrag van zeepbellen en vatte zijn observaties samen in de zogenaamde wetten van Plateau (zie onderstaande link). Eén van die wetten is dat, waar drie waterfilms samenkomen, die dat altijd doen onder een hoek van 120 graden. Deze wet vloeit voort uit het feit dat zeepbellen, omwille van de oppervlaktespanning, streven naar een zo klein mogelijk oppervlakte.
 
Nu is het zo dat de vraag die je stelde eigenlijk equivalent is met een zeepbellenprobleem: streven naar zo weinig mogelijk 'zeepbel' en zo veel mogelijk inhoud. Het enige verschil is dat jouw probleem in twee dimensies is en de gebruikelijke zeepbellen zich in drie dimensies bevinden. Het is dan ook geen verrassing dat, voor de optimale oplossing, de hoek die de twee cirkels maken in hun contactpunt exact 120 graden is.
 
EDIT: Zoals de poster van deze vraag opmerkt, blijkt deze vraag reeds beantwoord te zijn geweest door mijn collega Bert Seghers vraag 29791 Zijn redenering was volledig correct, maar de numerieke berekeningen zijn helaas ergens foutgelopen. Dit verklaart het verschil in resultaat.
 

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen