Wat is de maximale oppervlakte van twee velden?

jul, 22 jaar
2 januari 2013

je hebt 100 meter prikkeldraad en je moet daarmee twee velden afspannen, alle twee even groot. Wat is de grootste oppervlakte die je kan afbakenen? De vorm maakt niet uit, de velden mogen tegen elkaar liggen. Met verliezen door beveiligings-punten en/of toegangs-poorten moet je geen rekening houden.

Antwoord

Beste Jul,


Ik zal je vraag beantwoorden als wiskundige, inderdaad zonder rekening te houden met toegangspoorten, met het feit dat paaltjes suggereren dat er enkel rechte lijnen als afbakening mogen gebruikt worden, en ook niet met het feit dat percelen bij voorkeur een unie van rechthoeken zijn.

Observatie 1. Gegeven een vaste omtrek, wordt de grootste oppervlakte van een figuur gegeven door een cirkel. Dat een cirkel de grootste oppervlakte/omtrek-verhouding geeft, zien we ook in drie dimensies bij bijvoorbeeld zeepbellen: bollen hebben de grootste inhoud/oppervlakte-verhouding.

Observatie 2. De kortste weg tussen twee punten is de rechte weg. Als de twee percelen een grens gemeen hebben (en dat zal best zijn, zo houden we meer draad over om onze oppervlakte te vergroten), is die gedeelde grens best een recht stuk. Immers, als het zou kronkelen, zou de som van de oppervlakten niet veranderen, maar zou de benodigde prikkeldraad wel oplopen.

Daaruit: vertrekkend van een recht stuk, hoe kunnen we dan aan beide kanten een even groot stuk aanplakken? Door er een deel van een cirkel aan te plakken. Erg rigoureus is het niet, maar ik ben ervan overtuigd dat dit de optimale manier is. Dit wordt bevestigd door de natuur: kijk naar twee zeepbellen aan elkaar! Die delen een vlak en hebben dan twee stukken van bollen aan elke kant. Neem je een gepaste doorsnede, dan krijg je net de figuur die je velden moeten hebben.

We stellen dus een figuur voor van de beschreven vorm, met twee onbekenden, de straal r en de hoek die het grenslijnstuk maakt vanuit het middelpunt gezien, . Dan drukken we uit (a) dat de som van de gerealiseerde omtrekken 100 m moet zijn en (b) dat de oppervlakte maximaal moet zijn. De eerste vergelijking drukt r uit in functie van δ zodat de tweede vergelijking een vergelijking in δ wordt die we kunnen afleiden, er een nulpunt van bepalen om de δ-waarde van het maximum te bepalen en die dan in te vullen in de uitdrukking voor de oppervlakte.

Het bepalen van een nulpunt is volgens mij niet doenbaar met de hand, of zelfs niet exact, omdat je vergelijkingen krijgt waar zowel δ als sin(δ) in voorkomen. Software geeft δ ≈ 0.637 en de maximale oppervlakte is dan ≈ 423.781 m².  EDIT: de precieze waarden zijn niet juist. De correcte waarden zijn δ ≈ π/3 en oppervlakte ≈ 494.577 m² en kan men vinden als antwoord van een collega op vraag 30039: vraag 30039 target="_blank" title="Vraag vraag 30039 style="color: rgb(255, 0, 0);">.

Reacties op dit antwoord

  • 08/01/2013 - jul (vraagsteller)

    welke Software gebruikte u om dit uit te rekenen ? is 423.781 m² het maximale dat je kan bekomen , of kan het nog groter als er gebogen en rechte lijnen als afbakening mogen gebruikt zo ja hoeveel is dit dan zo nee , waarom ? wat zijn de afmetingen (ongeveer) van de velden ( ook voor de twee oplossingen als er een tweede oplossing mogelijk is)

  • 09/01/2013 -  (wetenschapper)

    Ik gebruikte Sage (www.sagemath.org) om dit uit te rekenen. Er zijn zowel rechte als gebogen lijnen als afbakening gebruikt en voor zover mijn maximaliteitsplausibilisering correct is als bewijs, is dit het maximale. De totale breedte van dit veld is dan 2(r+r cosδ).

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen