Wat is de betekenis van de directionele afgeleide?

Emily, 19 jaar
19 november 2012

Hallo, Ik zit in mijn tweede jaar hoger economie en heb een vraagje over wiskunde. Ik begrijp niet goed wat de betekenis is van de directionele afgeleide (meerdere veranderlijke). Of wat je ermee kan berekenen.

Antwoord

Dat is een veralgemening van het begrip "partiële afgeleide" bij een functie van meerdere veranderlijken.  Je weet dat een afgeleide een verhouding is van twee (oneindig kleine) toenames.

Bij een functie van 1 veranderlijke y=f(x) laat je x een beetje toenemen met dx, en je kijkt welke toename dy daarbij hoort.De afgeleide is dan de limiet van de verhouding van die twee als je de toenames oneindig verkleint.
Bij een functie z = f(x,y)  van twee (of meer) veranderlijken, laat men één van de twee veranderlijken toenemen en wordt de andere (of anderen) constant gehouden.

Om het verder uit te leggen voor het geval van twee veranderlijken:  bij de partiële afgeleide naar x verplaats je je dus enkel in de x-richting over een  afstandje dx, en  niet in de y-richting, en bij een partiële afgeleide naar y is dat omgekeerd.

Die verplaatsing in het xy-vlak kan je ook zien als een kleine vector: in het geval van de partiële afgeleide naar x is dat een verplaatsing over een vector  v = h  ( 1 , 0 ) en voor de partiële afgeleide naar is dat over v = h ( 0 , 1 )
Die h speelt dus de rol van dx of dy.
Bij partiële afgeleiden is de verplaatsingsvector dus evenwijdig aan één van de assen, maar je kan zo'n verplaatsing ook in een willekeurige andere richting doen, door middel van een vector v = h (vx, vy) .

Hierbij is h weer de grootte van de verplaatsing en is de vector v = (vx, vy) genormeerd (ik vermoed althans in de meeste practische gevallen omdat anders de afgeleide nog eens recht evenredig is met de lengte van v).
De bij  deze verplaatsing horende toename van de functie levert dan de "directionele afgeleide" of "richtingsafgeleide".

limit(h→0)  [ f ( X  + h.v ) - f ( X ) ] / h

waarbij X staat voor (x,y,...), dus een vector waarin alle veranderlijken zitten.

In de praktijk wordt de richtingsafgeleide berekend als

Dv f = ∇f . v

dus, het scalair product van de gradiënt van f :  ∇f = [ f 'x ,  f 'y , ... ]
met de genormeerde vector v = [ vx , vy , ... ]

vb
de richtingsafgeleide van f = x2y in de richting  v = ( 0.8 , -0.6) is

Dv f   =  [ 2xy , x2 ] . [ 0.8 , -0.6 ] = 1.6 xy - 0.6 x2
 

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
http://www.kuleuven.ac.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen