Hoe bereken ik de lengte van een boog?

rogier, 76 jaar
18 maart 2012

Graag zou ik de lengte berekenen van de boog uit de vergelijking y=x^2-2x-3 d.m.v. de bepaalde integraal voor de waarden gelegen tussen x=1 en x=3

Ik gebruik voor het symbool bepaalde integraal
/3 |
| /1

De vergelijking y=x^2-2x-3 heeft de nulpunten (wortels) voor x=-1 en x=3


/3
lengte s van de boog = | dx/ (wortel uit(1+(dy/dx)^2 )) *x.dx
/1

Ik slaag er niet in om met die bepaalde integraal de lengte s van de boog te berekenen. Voornamelijk met (dy/dx)^2 heb ik het moeilijk.
Alvast bedankt voor de hulp
Roger

Antwoord

Beste Roger

Als ik je notatie goed begrijp, gebruik je een verkeerde formule voor de booglengte. De vierkantswortel moet niet in de noemer staan maar gewoon in de teller en die extra factor x moet er ook niet staan. De nulpunten van de functie heb je overigens niet nodig.

Voor de booglengte van de grafiek van een functie met voorschrift y = f(x) tussen x = a en x = b geldt de formule:

(x van a tot b) √(1+(dy/dx)²) dx

Je zegt dat je moeite hebt met (dy/dx)², maar die afgeleide is voor deze functie vrij eenvoudig.
Als y = x²-2x-3 dan is y' = 2x-2 zodat:

√(1+(dy/dx)²) = √(1+(2x-2)²)

Dit integreren (van 1 tot 3) vraagt wel wat meer werk. Je zou de goniometrische substitutie 2x-2 = tan(u) kunnen gebruiken, maar het lukt ook met hyperbolische functies. Ik zal beknopt schetsen hoe je de integraal via die weg kan berekenen; als je niet bekend bent met hyperbolische functies kan je zelf de voorgestelde goniometrische substitutie nog proberen.

Met 2x-2 = sinh(u) geldt dx/du = 1/2 cosh(u) en de grenzen voor x van 1 tot 3 gaan over in u van 0 tot sinh-1(4). Je zoekt dus een primitieve van cosh²u met nog een factor 1/2 voor de integraal. Via cosh²u = (1+cosh(2u))/2 is het probleem herleid naar het vinden van een primitieve van cosh(2u) maar dat is eenvoudig sinh(2u)/2 = sinh(u)cosh(u).

Als we dat allemaal samennemen (de details van de uitwerking kan je eventueel zelf nagaan), krijgen we:



Als je de weg van de goniometrische substitutie volgt, ziet je antwoord er misschien anders uit; bv. met een natuurlijke logaritme in plaats van een hyperbolische functie. Je krijgt dan bv. √17+1/4*ln(4+√17), maar dat is precies hetzelfde.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen