Hoe berekent men de Hausdorff-Besicovitch-dimensie van fractalen?

Jeroen, 17 jaar
15 maart 2012

Men kan de dimensie van een fractaal op verschillende manieren berekenen; een daarvan is de zogenaamde Hausdorff(-Besicovitch)-dimensie. Naar ik vernam is dit een vrij ingewikkelde methode, maar ik kom maar niet te weten hoe die praktisch in z'n werk gaat.

Ik ken reeds de formule d=(log k)/(log n), maar ik vermoed dat men hiermee de Hausdorff-dimensie niet berekent. Is dit zo en zo ja, hoe wordt de dimensie die men ermee berekent dan wel genoemd?

Bespaar me de wiskundige details en uitwerkingen alstublieft niet. Alvast bedankt voor uw antwoord!

Antwoord

Beste Jeroen,

Ik ben zelf geen specialist in fractalen, maar omdat jouw vraag al een tijdje gesteld is, zal ik trachten zo goed mogelijk te antwoorden.

ik denk dat je de Hausdorff dimensie inderdaad op die manier berekent. De redenering is als volgt: indien je een n-dimensionale kubus verdubbelt van zijde, dan  gaat de oorspronkelijke kubus 2n keer in de nieuwe kubus. De dimensie is dan n= 2log(2n). Dit geldt voor elke n-dimensionale figuur die de unie is van een aantal kleinere kopieën van zichzelf. Deze laatste eigenschap is één van de kenmerkende eigenschappen van fractalen, en dus leent deze formule zich uitstekend om de dimensie van een fractaal te berekenen. Op die manier krijgt men soms niet-gehele dimensies. Bijvoorbeeld, het tweedimensionale geval van de Sierpinski-fractalen: een gelijkzijdige driehoek wordt verdeeld in vier gelijke driehoeken en je neemt de middelste weg. Met de drie overblijvende driehoeken doe je net hetzelfde, enzoverder. Neem je nu één van die overblijvende driehoeken, dan gaat die juist 3 keer in de oorspronkelijke driehoek (want de middelste driehoek is weggenomen), maar hij heeft half de zijde. Dus de dimensie is 2log 3=log 3/log 2. Dus de dimensie is algemeen alog b, waarbij a de factor is van homothetie om een deel van de fractaal bijectief af te beelden op de ganse fractaal, en b is het aantal kopieën van dit deel die bevat zijn in de gehele fractaal.

Ik hoop dat dit wat meer klaarheid brengt.

Vriendelijke groeten,
Hendrik Van Maldeghem

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

Prof. Hendrik Van Maldeghem

Wiskunde, meetkunde, algebra

Universiteit Gent

http://www.ugent.be

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen