Hoe kan men de wortel van twee met de hand berekenen?

Jeroen, 17 jaar
15 maart 2012

Ik zou graag weten hoe men exact de wortel van twee kan berekenen. Bestaat er een methode om dit oneindig lang irrationaal getal zelf met de hand te berekenen?

Antwoord

Beste Jeroen

Er bestaan verschillende methodes om vierkantswortels met de hand te berekenen. Sommige methodes geven enkel benaderingen terwijl andere toelaten om stap voor stap de decimalen te vinden.

Een eerste heel eenvoudige methode is gokken en vervolgens corrigeren. Als je bijvoorbeeld begint met de schatting dat √2 ongeveer 1,5 zou zijn, dan kan je kwadrateren en je schatting kleiner maken als je te hoog zit of groter maken als je te laag zit. Zo kan je verder doen:
- (1,5)² = 2,25, dus verlagen naar bv. 1,4;
- (1,4)² = 1,96, dus verhogen maar duidelijk dichter bij 1,4 dan bij 1,5;
- (1,41)² = 1,9881, dus weer verhogen...

Dit werkt, maar gaat erg traag en is bovendien niet zo interessant: het met de hand uitrekenen van die kwadraten wordt al snel omslachtig.

Een betere methode houdt nauw verband met de benaderingsmethode van Newton en werd al door de Babyloniërs gebruikt, het wordt daarom ook wel de 'Babylonische methode' genoemd. Om √n te berekenen vertrek je weer van een schatting die ik x0 zal noteren. In een notendop is het idee van de methode als volgt: als x0 bv. een overschatting is, dan zal n/x0 een onderschatting zijn en dan is het gemiddelde van beide een betere benadering en dit proces blijf je herhalen; dus:
- vertrek van een gok x0
- bereken het gemiddelde van x0 en n/x0, dit is de volgende benadering die ik x1 noem
- ga zo verder, x2 is dus het gemiddelde van x1 en n/x1 ...

Voor √2 kunnen we deze methode eens toepassen, n is dan 2 en voor x0 kies ik weer 1,5:
- x1 = (x0+n/x0)/2 = (1,5+2/1,5)/2 = 17/12 (= 1,41666...)
- x2 = (x1+2/x1)/2 = (17/12 + 2/(17/12))/2 = 577/408 (= 1,41421568...)

Deze methode levert erg snel veel juiste decimalen, vergelijk x2 maar eens met een stuk van de echte decimale ontwikkeling van √2 (1,414213562373...).

Maar ook hier wordt het rekenwerk met de hand nogal snel ingewikkeld. Een andere methode die wat moeilijker is om hier weer te geven volgt een principe dat lijkt op de staartdeling. De methode geeft niet zo snel zo veel juiste decimalen, maar is wel wat handiger om met de hand uit te voeren. Uitleg en voorbeelden vind je via de drie bijgevoegde links; op de wikipedia-pagina wordt als voorbeeld ook √2 genomen. Je kan ook het antwoord op een vorige vraag eens nalezen: vraag 1445 vraag 1445 />
Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen