Hoe schets je de contour grafiek van een functie met meerdere onafhankelijke variabelen?

Kevin, 19 jaar
12 maart 2012

Stel je hebt een functie f(x,y) = 2x^4 + 4y^3 + 2.
je stelt z gelijk aan deze functie, dus z = 2x^4 + 4y^3 + 2.
Hoe schets je de contour grafiek van z?

Antwoord

Goede vraag, maar het antwoord is niet eenvoudig.
Als je in zo'n functie een constant niveau z kiest krijg je wat x en y betreft een zogenaamde impliciete functie van één veranderelijke, namelijk iets van de vorm:

f(x,y) = K

een gezamelijke eis dus op x en y zonder dat je de ene eenduidig in functie van de andere kan afzonderen. Je zegt in feite "mijnheer x en mijnheer y, doe wat je wil, maar zie dat ge overeenkomt". Dus als je bijvoorbeeld x een waarde geeft, zal het aantal mogelijke waarden van y beperkt zijn. Vandaar de benaming "... van 1 veranderlijke" omdat je slechts één veranderlijke vrij kan kiezen.

Hoe ga je dat nu tekenen? In elk geval, met een PC.

De meeste wiskundige software doet dit met brute kracht: in het gewenste xy-gebied wordt een fijnmazig  netwerk van kleine rechthoekjes gekozen, en er wordt berekend welke zijden van welke rechthoek door de kromme gesneden worden. Die snijpunten worden dan met elkaar verbonden. Dit werkt redelijk, tenzij f(x,y) een kromme is die zichtzelf snijdt. Dan heeft de software soms last om te weten elke puntjes hij met elkaar moet verbinden. Het netwerk nog fijnere maken helpt dan ook slechts tijdelijk. Maple doet dit bijvoorbeeld. Op bijgaande figuur zie je het lemniscaat,

(x2 + y2)2 = 2 (x2 - y2)

maar je ziet dat er in (0,0) miserie optreedt. Vanuit vier richtingen komt daar een stuk oplossing toe, en Maple weet niet hoe correct te verbinden.

Een andere methode is de volgende:

Als je de impliciete functie differentieert tot:

f 'x (x,y) dx + f 'y (x,y) dy = 0

kan je daarmee twee differentiaalvergelijkingen maken:

(1)  dy/fx = - f 'x /  f 'y
(2)  dx/fy = - f 'y /  f 'x

(1) kan je gebruiken in stukken waar de grafiek min of meer horizontaal verloopt, (2) waar hij min of meer verticaal verloopt. Kies nu een startpunt op de oplossing, en gebruik de differentiaalvergelijkingen om langs de oplossing te lopen. Van tijd tot tijd moet je dan switchen van de ene naar de andere, maar dat is geen probleem: als abs(dy) > abs(dx) gebruik je (2), anders (1). Deze differentiaalvergelijkingen zal je meer dan waarschijnlik wel numeriek moeten oplossen. Bij het omswitchen van een stap dx naar dy of omgekeerd moet je ook zien dat je die stap het juiste teken geeft, anders keer je gewoon terug op de reeds berekende oplossing in plaats van verder te lopen.
Als je na elke stap ook nog een met de methode van Newton-Raphson toepast kan je zelfs de langzaam optredende afwijkingen ten gevolge van de numerieke berekening volledig neutraliseren.

Ik gebruikte deze methode ooit nog om de equipotentiaaloppervlakken van het beperkt drielichamenprobleem te plotten. Het werkte, maar je moet er dus wel een programma voor schrijven, tenzij je software vindt die dat reeds kan. Ook hier kan je problemen hebben in punten waar de oplossing zichzelf snijdt. En als de contour uit disjuncte stukken bestaat moet je er afzonderlijk langs lopen.

Ik zou zeggen, tenzij het plotten echt het onderwerp van uw werk is, gebruik een wiskundig pakket zoals Maple of Matlab en plot het daar.


Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Beantwoord door

prof.dr. Paul Hellings

Vakgroep Wiskunde, Fac. IIW, KU Leuven

Katholieke Universiteit Leuven
Oude Markt 13 3000 Leuven
https://www.kuleuven.be/

Zoek andere vragen

© 2008-2021
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen