Wat is het verschil tussen een afgeleide en een differentiaal?

Willy, 64 jaar
21 februari 2012

Antwoord

Beste Willy

De afgeleide van een functie f in een punt x is de limiet voor h gaande naar 0 van het quotiënt (f(x+h)-f(x))/h. Meetkundig is het de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van f in (x,f(x)). Je kan dit volgen in bijgevoegde afbeelding (klik erop om te vergroten): voor een functie f is de grafiek van f in het blauw getekend en de raaklijn in x in het rood. De richtingscoëfficiënt van de rode rechte is dus precies de afgeleide van f in x.

Beschouw dan een naburig punt van x, namelijk x+h voor een zekere aangroei h. Het verschil tussen de functiewaarden in x en x+h wordt ook wel Δy genoteerd, dus Δy = f(x+h)-f(x). Als we echter de functiewaarde in x+h niet kennen of moeilijk kunnen berekenen, kunnen we er de waarde van de raaklijn bepalen, dus L(x+h). Het verschil tussen L(x+h) en f(x), is de differentiaal van f in x, bij een aangroei h; dy genoteerd. Er geldt: dy = f '(x)*h.

De differentiaal is dus een maat voor de aangroei langs de raaklijn, wanneer we vanuit een punt x naar een naburig punt x+h kijken. Die raaklijn wordt in veel toepassingen gebruikt als een eerste orde benadering van de functie. Voor kleine waarden van h, is de differentiaal dy namelijk een goede benadering van het 'echte verschil' Δy (zie figuur). Die aangroei h wordt ook vaak met 'dx' genoteerd en dan verschijnt een meer gekende formule: dy = f '(x) dx.

Een kleine toepassing als voorbeeld: stel dat je zonder rekenmachine een idee wil hebben van de waarde van √(9,5). We kennen uiteraard √9 en kunnen de differentiaal gebruiken om de waarde van √(9,5) te benaderen; neem in de formules van hierboven namelijk f(x) = √x in x = 9 en neem als aangroei h = 0,5. De echte waarde is √9 + Δy (want Δy = √(9,5)-√9) maar deze benaderen we door √9 + dy met dy = f '(x)*h.

Voor f(x) = √x is f '(x) = 1/(2√x) zodat f '(9) = 1/(2√9) = 1/6; dus: dy = 1/6*1/2 = 1/12 en we vinden:

√(9,5) ≈ 3+1/12 = 3,08333...

Vergelijk dit met de echte waarde: √(9,5) = 3.08221...

Zoals je ziet zijn de afgeleide en de differentiaal verschillende begrippen, maar zijn ze wel nauw met elkaar verbonden. Hopelijk is het duidelijk zo, anders hoor ik het wel.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen