Bestaat oneindigheid wel? Reeds geruime tijd houdt een eenvoudig wiskundig vraagstuk mij bezig:

Verlinde, 51 jaar
22 mei 2008

Stel:

x=0,9999999.....
(vermenigvuldig beide delen van de vergelijking met 10)
10x=9,9999999.....
(nu trek ik x=0,999999.... af van de vergelijking)
9x=9
(vereenvoudigen)
x=1

Dus 1=0,9999999......


Mag ik daaruit besluiten dat het oneindige niet bestaat? Bega ik ergens een fout?

Antwoord

Beste Thierry,

Eerst en vooral kan men bewijzen dat 0,99999 effecief hetzelfde is als het getal 1. Hiervoor gebruiken we het principe van de meetkundige reeks. Het is zo dat voor een factor | r | < 1 geldt dat ar + ar^2 + ar^3 + ... = ar / (1-r) op voorwaarde dat de reeks niet wordt afgebroken, en dus oneindig ver doorloopt. Beschouwen we even de waarde waarvan jij vertrok: x = 0,9999... In dit getal loopt het decimaal deel altijd door; het wordt nooit afgebroken. Omdat we met een decimaal, positioneel getallenstelsel rekenen, kunnen we x ook anders voorstellen. x is namelijk de waarde die je bekomt als je alle termen van de volgende reeks zou optellen (a = 9, r = 1/10): 9 (1/10) + 9 (1/10)^2 + 9 (1/10)^3 + 9 (1/10)^4 + ... Uit de formule voor de som blijkt dat dit hetzelfde is als (9 (1/10)) / ( 1 - 1/10), wat na vereenvoudiging 1 geeft.

Voor meer argumenten kun je ook terecht op de Wikipedia (in het Engels) http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... In de wiskunde bestaat er dus wel degelijks iets als oneindigheid. Ik denk dat de moeilijkheid in jouw redenering zich situeert in het idee dat x toch ergens een 'laatste' 9 heeft in zijn ontwikkeling. Zou dat het geval zijn, dan geldt bij het aftrekken van x in beide leden, dat x steeds een 9 meer zou hebben in zijn ontwikkeling dan het decimale deel van 9,999... Dus je bekomt dan geen 9 in het rechterlid, maar 8,999... En 8,999... / 9 = 0,999 ... :-) Als je er echter van uitgaat dat x geen 'laatste' 9 bezit, dan is er geen probleem en bekom je inderdaad dat 1 = 0,999...

Hopelijk helpt dit je een beetje,
Andy Georges

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2019
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen