Hoe bereken ik op een niet-omslachtige manier de afgeleide van zoiets als ((x-1)^5) / ((3x+5)^2)?

Ruth, 18 jaar
3 januari 2012

Ik moet dit blijkbaar gemist hebben in het middelbaar, maar als ik de afgeleide wil berekenen van dergelijke breuken (met dingen tussen haakjes tot de n-de) kom ik vervelende lange slierten antwoord uit waar verder niet veel mee kan gebeuren.
Bijvoorbeeld hier voor de eerste afgeleide:
(5(3x+5)(x-1)^4 - (6(x-1)^5)) / ((3x+5)^3)

Het is niet zo eenvoudig om van deze uitkomst een nulpunt of tweede afgeleide te bepalen. Ik vermoed ook dat er een eenvoudigere manier is (ik ben enkel op de hoogte vd quotientregel) die een compactere uitkomst geeft waar wel mee kan worden verder gewerkt, alleen vind ik hier nergens iets over terug in de boeken die ik heb...

Antwoord

In een dergelijk geval kan je overwegen om logaritmisch af te leiden:
Stel dat je de afgeleide wil van f(x) en die f(x) bevat inderdaad machten, producten, wortels quotienten:

f(x)= (x-1)^5 / (3x+5)^2

dan is de natuurlijke  logaritme:

ln f(x) = 5 ln(x-1) - 2 ln(3x+5)

je ziet, de machten worden veelvouden, het product een som => veel eenvoudiger af te leiden:
We nemen nu links en rechts de afgeleide:

f ' (x) / f(x) = 5 / (x-1) - 6 / (3x+5)

en nu de f(x) vanuit de noemer links naar rechts:

f ' ( x) =  (x-1)^5 / (3x+5)^2  . [ 5 / (x-1) - 6 / (3x+5) ] = ...

dat kan je verder uitrekenen zover je wil, maar eigenlijk is dat niet nodig. De afgeleide staat er immers.
Kan dat de bedoeling zijn? Echt veel verschil maakt het hier nog niet, maar bij breuken met nog meer onderdelen wordt het wel nuttig.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2018
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen