Is oneindig gelijk aan -1?

Sophie, 17 jaar
30 november 2011

Als je stelt dat
1 + 2 + 4 + 8 + ... =
(2 - 1)(1 + 2 + 4 8 + ...) =
2 + 4 + 8 + 16 - 1 - 2 - 4 - 8 - 16 ... = -1 = oneindig?

Wat klopt er niet?

Antwoord

Beste Sophie

De uitdrukking waarvan je vertrekt, 1+2+4+..., noemen we een reeks: intuïtief kan je dit zien als 'een som van oneindig veel termen'. Je moet hier met de nodige wiskundige voorzichtigheid mee omgaan en de oorsprong van vele 'valse bewijzen' zit in het toepassen van rekenregels die gewoon niet meer gelden.

De gewone optelling van reële getallen voldoet aan eigenschappen zoals commutativiteit, associativiteit enzovoort, maar die mag je niet zomaar toepassen op reeksen. In het bijzonder wanneer een reeks divergent is, zoals die uit jouw voorbeeld, krijg je dan dergelijke onzinnige resultaten.

Wat je hier eigenlijk doet, of zou willen doen, is als volgt groeperen:

2 + 4 + 8 + 16 (+ ...) - 1 - 2 - 4 - 8 - 16 - ...
= -1 + (2-2) + (4-4) + (8-8) + ...
= -1 + 0 + 0 + 0 + ... = - 1

Maar dan gebruik je dus rekenregels die niet meer gelden. Een ander typisch voorbeeld is de volgende reeks:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Door op verschillende manieren te groeperen, lijken er verschillende sommen te ontstaan:

(1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
1 + (-1+1) + (-1+1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1

Maar uiteraard is '0 = 1' ook niet waar.

Als je reeksen al een beetje bestudeerd hebt: in een convergente reeks van positieve termen, mag je wél termen van plaats verwisselen, haakjes invoeren en verplaatsen enzovoort.

Groeten
Tom

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2022
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door EOS vzw