Wat is het gemiddeld aantal keer dat men moet delen vooraleer een troel valt in het kleurenwiezen?

Philip, 37 jaar
16 mei 2011

Kleurenwiezen: kans op een troel? (52 kaarten: 4 spelers)
Een troel is als één speler minimaal 3 azen heeft. (4 mag dus ook)
Wat is de kans hierop?
Iedere deelbeurt hebben vier spelers de kans om dit te halen. Om de hoeveel deelbeurten mogen we een troel verwachten?
Ik ben vooral geïnteresseerd in de berekening van dit statistisch gemiddelde.

Antwoord

Beste Philip,


De vraag die je stelt is een typische kansvraag van een beginnende cursus kansrekening.

Laten we eerst even kijken naar de kans dat je bij het delen effectief troel krijgt. Hiervoor bepalen we enerzijds het totaal aantal mogelijkheden om een troel te krijgen en anderzijds het totaal aantal deelmogelijkheden. De kans op troel is dan de verhouding tussen deze twee.

Hiervoor gebruiken we de binomiaalcoëfficiënten. De binomiaalcoëfficiënt met parameters n en k bepalen op hoeveel manieren we deelverzamelingen van k elementen kunnen nemen binnen een grote verzameling van n elementen. Deze coëfficiënt noteren en berekenen we zo:


Wat betreft het totaal aantal deelmogelijkheden doen we de volgende uitwerking. Speler 1 krijgt 13 uit de 52 kaarten. Speler 2 krijgt uit de resterende 39 kaarten er 13. Speler 3 uit de resterende 26 kaarten ook 13 en speler 4 krijgt uit de laatste 13 kaarten er 13(=de overschot). Dit levert ons het product


Laten we nu bepalen hoeven deelmogelijkheden een troel zijn. In eerste instantie kijken we naar het aantal manieren waarop speler 1 drie of vier azen vast heeft, daarna vermenigvuldigen we dit aantal met 4 zodat we het totaal aantal krijgen.

Speler 1 heeft
of: 3 van de 4 azen, en 10 van de 48 niet-azen.
of: 4 van de 4 azen en 9 van de 48 niet-azen.
Speler twee heeft steevast 13 van de overige 39 kaarten,
speler drie heeft 13 van de overige 26 kaarten,
speler 4 krijgt de overschot.

Dit levert ons de volgende formule van de kans p op een troel bij een willekeurig deling:


Je hebt dus ongeveer 17,5% kans op een troel bij willekeurige deling.

Indien we nu willen weten hoelang het gemiddeld duurt dat een troel voorkomt kunnen we gebruik maken van het feit dat de duur tussen twee troels wordt gegeven door een geometrische verdeling (zie ook link wikipedia). De gemiddelde duur komt dan overeen met de verwachtingswaarde van de verdeling en dit is 1/p en dus ongeveer 5.7 delingen.

Opmerking. Hierbij hou ik geen rekening met het spelverloop. De kaarten worden bij wiezen (althans bij de versie die wij spelen) niet willekeurig geschud, maar de vorige ronde bepaalt mee hoe de kaarten gedeeld worden de volgende ronde. Ik vermoed echter wel dat dit niet te veel invloed zal hebben op het werkelijke resultaat.

Ziezo, hopelijk is het een beetje duidelijk (en heb ik geen rekenfouten gemaakt).

Stijn Symens
Universiteit Antwerpen.

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen