Waar zit de fout in de volgende redenering?

Sebastiaan, 18 jaar
5 april 2011

Na wat spelen met de formule van Euler die zegt dat e^(iπ) = -1 vindt men volgende identiteit:

ln(-e) - √(-π²) = 1

Men controleert dit door beide leden als exponent te nemen voor e:

e^(ln(-e) - √(-π²)) = e
e^(ln(-e))/e^(iπ) = e
-e/-1 = e

Echter controleert men zo ook dat:

ln(-e) + √(-π²) = 1

via:

e^(ln(-e) + √(-π²)) = e
e^(ln(-e))*e^(iπ) = e
-e*(-1) = e

Hieruit volgt dan dat:

√(-π²) = - √(-π²)

Maar, wanneer a = -a, dan is er slechts 1 getal dat hier aan voldoet, namelijk 0. Waaruit men de conclusie kan trekken dat √(-π²) = 0.

Waar zit de fout in deze redenering?
Dank bij voorbaat!

Antwoord

Let op, bij reële getallen is de logaritme, als ze bestaat, ook uniek. Dus kan je, als de exponenten van twee getallen gelijk zijn, ook besluiten dat de getallen zelf gelijk zijn.

Uit ea = eb volgt dan a = b

Bij complexe getallen gaat dit niet meer, want elk complex getal heeft oneindig veel logaritmen, die allen hetzelfde resultaat geven als je er de e-macht van neemt. Daar kan je dus NIET besluiten, dat als twee getallen (logaritmen) voldoen aan

ea = eb

dit ook automatisch betekent dat a = b
Dat is precies wat u doet in uw redenering, uw neemt van twee getallen de exponent en als die gelij is, besluit u dat de twee getallen ook gelijk zijn. Niet bij complexe getallen!

Bekijk eens het artikel op wikipedia hierover : http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm

Reacties op dit antwoord

Er zijn nog geen reacties op deze vraag.

Enkel de vraagsteller en de wetenschapper kunnen reageren op een antwoord.

Zoek andere vragen

© 2008-2020
Ik heb een vraag wordt gecoördineerd door het
Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen